【文章內(nèi)容簡介】 for(i=0。i=n。i++ ) Q[i]=P[i] 。 for(k=1。 k=n。 k++) for(i=0。 i=nk。 i++) Q[i]=()*Q[i]+u*Q[i+1] 。 C=Q[0] 。 } ? Bezier 曲線的 De Casteljau算法 ? ? 5． Bezier曲線的幾何作圖法 ? 利用 De Casteljau算法可以以幾何方式計(jì)算參數(shù)值 處的曲線點(diǎn)： ? 1） 根據(jù)給定的參數(shù)值 ， 在控制多邊形的每條邊上確定某一分割點(diǎn) ， 使分割后的線段之比為 ；由此得分割點(diǎn)為 ： 由此組成一個(gè)邊數(shù)為（ n1） 的新的多邊形； u)1(: uu ?1, . . . ,2,1,0)1( 11 ????? ? niPuPuP iiiu? 2） 用相同的方法對(duì)該多邊形再次分割 ， 得到分割點(diǎn) 形成另一個(gè)新的多邊形 ； ? 3） 按相同的過程分割 n1次后 ， 得到兩個(gè)頂點(diǎn) ， 再分割得到所求的點(diǎn) 即為所求的 處的曲線點(diǎn)； )2,. ..1,0(2 ?? niP iPP nn 1110 , ??Pn0 u ? Bezier 曲線的幾何作圖法 ? 6． Bezier曲線的分割 ? 幾何作圖法中計(jì)算得到 的同時(shí)也將原 Bezier曲線分為兩個(gè)子曲線段： 就是定義在 上的子曲線段 ， 而 是定義在 上的子曲線段 。 Bezier曲線的任意分割是指給定兩個(gè)參數(shù)值 求原 Bezier曲線 上由兩點(diǎn) 與 所界定的那段子曲線段的控制頂點(diǎn)： 1)先用 對(duì)原曲線做一分為二的分割； Pn0nPPP 01000 ,. . . ,],0[ u 0110 ,. . . , nnn PPP ?]1,[u10 21 ??? uu]1,0[),( ?uuC )( 1uC )( 2uC2uu ?? 2） 對(duì) 那個(gè)子曲線用 做一分為二的分割 ， 所得子曲線段 就是所求的原 Bezier曲線的子曲線段 ? ? Bezier 曲線的分割 ],0[ 2uu ? 21 uuu ?]1,[),( 21 uuuuP ?],[),( 21 uuuuP ?? ７ ． Bezier曲線的升階 有時(shí)為了便于 Bezier曲線的修改 ， 需要增加控制頂點(diǎn)提高靈活性 ， 而不要改變?cè)瓉砬€的形狀 ， 也就是將 n次的 Bezier曲線進(jìn)行升級(jí)表達(dá)為 n+1次的 Bezier曲線 ， 即： ? 只需將左邊乘以 然后比較 ? 的系數(shù) ， 即可得到 ?? ???????101,0, )()()(niniininii uBPuBPuP)]1([ uu ??)1( 1uu ini ? ??1, . ..,2,1,0,)11(1 1 ???????? ? niPn iPn iP iii? 幾何意義： ? 1） 新的控制頂點(diǎn)是對(duì)老的特征多邊形在參數(shù) 處進(jìn)行線性插值的結(jié)果； ? 2） 升階后的新的特征多邊形在老的特征多邊形的凸包內(nèi)； ? 3） 升階后的新的特征多邊形更逼近 Bezier曲線； )1/( ?ni? 例如對(duì)于二次 Bezier曲線： ? 升階后的控制頂點(diǎn)為 ? ????????????????????????PPPuuuP21020010221211)(PPPPPPPPPP232121010031323231??????????9. Bezier曲線的拼接 設(shè)有兩條 Bezier曲線 和 ， 其控制頂點(diǎn)分別為：Ｐ 0,Ｐ 2,? Ｐ n 和 Q0,Q2,? Qm： )(uP )(wQ]1,0[,)()(]1,0[,)()(0,0,????????wwBPwQuuBPuPmjmjjninii? 現(xiàn)考慮兩條曲線的拼接，不同階幾何連續(xù)的條件如下： 1)一階連續(xù)性 根據(jù)端矢量條件： 其連續(xù)條件為 即 ： )()0()()1(011nQPPmP mm?????? ?)0()1( QP ??? ?)( 101 PPnm mm ???? ? ? 1） 二階連續(xù)性 ? 根據(jù)二階導(dǎo)矢量： ? 為滿足連續(xù)性條件： ? 可得： ? )2)(1()0()2)(1()1(01221QnnQPPPmmP mmm???????????? ??)0()1( QP ????? ?)2()1()1()(2 2121022PPPnnmmPPnm mmmmm ??? ?????????????? ? Bezier 曲線的拼接 ? 有理 Bezier曲線 有理 Bezier曲線的定義式為： 與 Bezier曲線相比，除了可以調(diào)節(jié)有理 Bezier曲線的控制頂點(diǎn)外，還可以調(diào)節(jié)其權(quán)因子的大小來改變曲線的形狀；因而具有更強(qiáng)的造型功能； ?????? ??niininiininiiiniPuRuBPuBuP0,0,0,)()()()(??? 其性質(zhì)包括： 1)端點(diǎn)性質(zhì)： 2)端點(diǎn)切矢量 3)凸包性質(zhì) 。 4)有理再生性；若控制頂點(diǎn)落在一條直線上，曲線為直線； 5)仿射和透視不變性； 6)權(quán)因子的作用：當(dāng)權(quán)因子全為零時(shí)，曲線與控制頂點(diǎn)無關(guān)；當(dāng)某一權(quán)因子增大（?。r(shí)，曲線向相應(yīng)的控制頂點(diǎn)靠近（遠(yuǎn)）；當(dāng)權(quán)因子為無窮大時(shí)，該控制頂點(diǎn)即為曲線上的點(diǎn)。 PRPR n?? )1(。)0( 0)()1()。()0( 110101 PPnRPPnRnnnn?? ?????????? Bezier曲面 ? 1．定義 在空間給定 個(gè)點(diǎn) 稱下列張量積形式的 一般稱 Pij為 Bezier曲面 的控制頂點(diǎn)；把由兩組多邊形 (i=0, 1, … , n)和 (j=0,1,2, … ., m)組成的網(wǎng)稱為 Bezier曲面 的控制網(wǎng)格，記為 )1()1( ??? mnijP), . . . ,1,0。, . . . ,1,0( mjni ??? ? ???? ?nimj mjniijvuvBuBPvuS0 0 ,1,0),()(),(),( vuSimii PPP ...10njjj PPP . . .10),( vuS}{ ijP控制網(wǎng)格 是 的大致形狀勾畫； 是對(duì) 的逼近。 Bezier 曲面 }{ ijP ),( vuS ),( vuS}{ ijP? 2． 性質(zhì) ? Bezier曲面 具有以下性質(zhì)： 1)端點(diǎn)位置 ： 四個(gè)端點(diǎn)分別是 這是因?yàn)? 2)邊界曲線 的四條邊界 線分別是以 ),( vuSnmnm PPPP , 0000)1,1(),0,1()1,0(),0,0(0000PPSPSPSPnmnm????),( vuS )1,(),1(),0,(),0( uSvSuSvSmPPPP 0020220 ... 0202200 ... nPPPP ? 為控制多邊形的 Bezier曲線。 3)端點(diǎn)的切平面 三角形 所在的平面分別在點(diǎn) 與曲面 相切 4)端點(diǎn)法線方向 由端點(diǎn)的切平面知 是 在點(diǎn) 的法線方向；其余各端點(diǎn) nmnnn PPPP ...210 nmmmm PPPP ...210011000 PPP 1,010 ?mmm PPP1,1 ?? mnmnnm PPP10,10 nnn PPP ?0000 , nnmm PPPP),( vuS),( vuS00 , nnmm PPP10000100 PPPP ? 00P的法向情況也類似 5)凸包性 曲面 位于其控制頂點(diǎn) 的凸包性 。 6)幾何不變性 曲面 的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無關(guān) ，僅僅與各控制頂點(diǎn)的位置有關(guān) ? 7) 變差遞減性 ? 對(duì)于 Bezier曲面 ， 空間任意條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； ),( vuS ), . . . ,1,0。, . . . ,1,0( mjni ??ijP),( vuS? 3． Bezier曲面的 De Casteljau算法 假定已知 個(gè)點(diǎn) 構(gòu)成的 Bezier曲面 以及參數(shù) 下面的 De Casteljau算法可計(jì)算出相應(yīng)的曲面上的點(diǎn)坐標(biāo)： 首先對(duì)確定的 計(jì)算 ，也就是說利用 De Casteljau算法計(jì)算控制頂點(diǎn)的第 j0行 ；利用 (m+1)次 De Casteljau算法計(jì)算 。再次對(duì) 計(jì)算 的值得到 。 )1()1( ??? mnijP), . . . ,1,0。, . . . ,1,0( mjni ??),( vuS ),( 00 vu0j ???nijinij PuBuQ00,0,00 )()(0jniP ji ,. . . ,0},{ 0, ?)(0 vC u)(0 vCu0vv ?),()( 0000 vuSvC u ?DeCasteljauSurf(P, n, m, u, v, S) { /* Compute a point on a Bezier surface */ /* Input : P , n, m, u, v */ /* Output : S */ if(n=m) { for(j=0。j=m。j++) DeCasteljau(P[j][], n, u, Q[j]) DeCasteljau(Q, m, v, S) 。 } else { for(i=0。i=n。i++) DeCasteljau(P[][i], m, v, Q[i]) 。 DeCasteljau(Q, n, u, S) 。 } 4． Bezier曲面的微分 ? 階的 Bezier曲面 的偏微分 ? 5． Bezier曲面的法矢量 ? Bezier曲面的法矢量等于兩個(gè)偏微分的叉積； mn ? ),( vuS? ? ?? ? ??????? ? ?? ? ????????