【正文】 計算機圖形學基礎(chǔ) 第 7章 曲線和曲面 本章主要內(nèi)容 – 曲線曲面基礎(chǔ) ? 數(shù)學描述的發(fā)展，表示要求 ? 參數(shù)化表示的優(yōu)點 ? 插值與擬合 ? 連續(xù)性條件 – 三次樣條曲線 – Bezier曲線 – B樣條曲線 – NURBS曲線 我們需要曲線曲面 ? Geri Geri’s model Geri’s game 3D藝術(shù)的神話 PIXAR經(jīng)典動畫短片回顧 第 7章 曲線和曲面 ? 背景 離散點近似決定曲線曲面。 – 計算機輔助幾何設(shè)計（ CAGD， Computer Aided Geometric Design） – 曲線曲面基礎(chǔ) ? 數(shù)學描述的發(fā)展，表示要求 ? 參數(shù)化表示的優(yōu)點 ? 插值與擬合 ? 連續(xù)性條件 ? 三次樣條曲線 /曲面 ? Bezier曲線 /曲面 ? B樣條曲線 /曲面 ? NURBS曲線 參數(shù)曲線基礎(chǔ) 自由曲線 一 .概述 曲線 ：規(guī)則曲線 ——可用曲線方程式表示的曲線。 不規(guī)則曲線 ——不能確切給出描述整個曲線的方程，而是由從實際測量中得到的一系列離散數(shù)據(jù)點采用曲線擬合的方法來逼近的。這類曲線也稱之為自由曲線。 曲線的表示方法 ： 1. 直角坐標曲線 顯式 y = f(x) 隱式 f(x,y) = 0 2. 極 坐標曲線 Ｐ =ρ(θ) 3. 參數(shù)坐標曲線 x = x(t)。 y = y(t) 參變量的規(guī)范化 曲線的繪制方法 ：用很多短直線段來逼近曲線。曲線上點的數(shù)量取多少，直線段取多長，取決于繪制曲線的精度要求和圖形輸出設(shè)備的精度。 曲線曲面的表示形式 ? 顯式表示 z = f (x, y) ?隱式表示 f (x, y, z) = 0 ?參數(shù)表示 x = x (u, v) y = y (u, v) z = z (x, y) ?常用生成方法： – 插值 ——生成的曲線經(jīng)過每個數(shù)據(jù)點 ，如：多項式插值（常見三次多項式）、樣條函數(shù)插值， Hermite曲線等； – 逼近 ——生成的曲線 靠近每個數(shù)據(jù)點（不一定通過每個點），如： Bezier曲線， B樣條曲線 ． 擬合 — 插值和逼近 ? 型值點 ——指通過測量或計算得到的曲線或曲面上 少量描述其幾何形狀的數(shù)據(jù)點 。 ? 控制點 ——指用來 控制或調(diào)整曲線曲面形狀的特殊點 ， 曲線曲面本身不一定通過控制點 。 ? 插值和逼近 曲線曲面設(shè)計中的兩種不同方法 。 插值設(shè)計方法要求建立的曲線曲面數(shù)學模型 ， 嚴格通過已知的每一個型值點 。 逼近設(shè)計方法建立的曲線曲面數(shù)學模型只是近似地接近已知的型值點 。 ? 擬合：是指在曲線曲面的設(shè)計過程中 ， 用插值或逼近的方法使生成的曲線曲面達到某些設(shè)計要求 。 插值與擬合 插值 擬合 ? – Example control points. – Joining the control points gives the control polygon. P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 插值與擬合 ? 插值 – Interpolating (through the control points). 擬合 Approximating (near the control points). P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 通過移動控制點形成不同的曲線 ? Edit curves by moving control points (click and drag): – Original curve. – Curve after P2 is moved. 實現(xiàn)交互控制，生成曲線 : ? 畫控制點； ? 看看曲線的生成結(jié)果； ? 調(diào)整控制點直到最佳 。 P1 P0 P2 P3 P1 P0 P2 P3 ? 1963年， 波音，將曲線曲面表示為參數(shù)的矢函數(shù)方法（參數(shù)三次曲線） ? 1964， Coons曲面 ? 1964， 樣條函數(shù) ? 1971， Bezier控制多邊形定義曲線 （法，雷諾汽車 ） ? 1972， De Boor， B樣條標準算法 ? 80年代， 非有理 B樣條（ NURBS） ? 在計算機內(nèi)表示曲線曲面，其形狀的數(shù)學描述應(yīng)保留產(chǎn)品的形狀的盡可能多的性質(zhì)。 ? 滿足要求： ? 惟一性 ? 幾何不變性 ? 易于定界 ? 統(tǒng)一性 ? 易于光滑連接 ? 幾何直觀 惟一性 ? 形狀定義 ? 由已給定的有限信息，決定的形狀是惟一的。（傳統(tǒng)上采用：模線樣板法是按模擬量傳遞，不能保證形狀定義的惟一性） 幾何不變性 ? 當用有限的信息決定圖形時，如 4點決定一條 3次曲線，當這些點的相對位置固定后，形狀也就固定的，不應(yīng)該隨坐標系更改而改變。 ? 如果采用的數(shù)學方法不具有幾何不變性，則不同測量坐標系測得的同一組數(shù)據(jù)點，會得到不同的擬合曲線。 幾何不變性 易于定界 ? 工程中，曲線曲面的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學描述應(yīng)該易于定界。 ? 可用：參數(shù)方程表示 統(tǒng)一性 ? 能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況（包括特殊情況），如曲線描述，用統(tǒng)一的形式表平面曲線、空間曲線。 ? 統(tǒng)一性的高要求是，用統(tǒng)一的數(shù)學形式既能表示自由型曲線曲面，也能表示初等解析曲線曲面，建立統(tǒng)一數(shù)據(jù)庫，便于形狀信息的傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換。 易于光滑連接 ? 單一的曲線段或曲面片難以表達復(fù)雜的形狀，需要將若干線段連接成為光滑曲線（曲面片連接為組合曲面）。其連接必須是光滑的。 幾何直觀 ? 幾何意義明顯 ? 有一空間點 A， 從原點 O到 A點的連線表示一個矢量 ， 此矢量稱為位置矢量 。 ? 空間一點的位置矢量有三個坐標分量 ， 而空間曲線是空間動點運動的軌跡 ， 也就是空間矢量端點運動形成的矢端曲線 ， 其矢量方程為： )](),(),([)( uzuyuxuCC ??? 曲線曲面表示方法： – 非參數(shù)形式 ? f(x,y,z)=0 – 參數(shù)形式 ? p(t)=(x(t),y(t),z(t)) ? 規(guī)范化區(qū)間： 若 t的區(qū)間 [a,b]? t’=(ta)/(ba)?[0,1] 參數(shù)化表示的優(yōu)點 – 點動成線（ t可看為時間，曲線成為隨時間而動的軌跡） – 幾何不變性 – 可以表示無窮大斜率 – 用規(guī)格化參數(shù)變量 –…… 此式也稱為單參數(shù)的矢函數(shù)。它的參數(shù)方程為： ????????)(),()(uzzuyyuxx],[ 0 nuuu ?)](),(),([)( uzuyuxuCC ??規(guī)范化區(qū)間 若 t的區(qū)間： [a,b]， 如果把它轉(zhuǎn)換為 [0,1] ，如何做？ 方法（相似性，比例不變）： （ 例：區(qū)間 [5， 8]， 通過仿射變換到區(qū)間 [0,1]） 解： t’=(ta)/(ba) , 則 t’ ? [0,1] 參數(shù)表示的優(yōu)點 1)有更大的自由度控制曲線曲面的形狀； 2)可對參數(shù)曲線曲面的方程直接進行幾何變換 ，而不需要對曲線曲面的每個數(shù)據(jù)點進行幾何變換； 3) 可以處理斜率無窮大的情況； 4)代數(shù) 、 幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的 ，對變量個數(shù)不限 ， 便于將低維空間中的曲線曲面擴展到高維空間中 ； 5)便于采用規(guī)格化的參數(shù)變量 如：區(qū)間 [a,b] （ 如區(qū)間 [5， 8]） 可由區(qū)間 [0,1]通過仿射變換得到 。 直線上的插值點可以下兩式表示 變換為： 6)易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化計算； ]1,0[?t]1,0[?t],[ bau ?)()( abaut ???babauaabubuxtbattx?????????)()1()( ? 多條曲線首尾相連形成一條曲線，要求：連接處 具有合乎要求的連續(xù)性 。 ? 參數(shù)連續(xù)性 – 用 C 階數(shù) 表示 ? 幾何連續(xù)性 – 用 G 階數(shù) 表示 兩曲線段的連接 ? Examples: – These two curves do not fit together at all. – These two curves fit together, but not smoothly. – These two curves fit together smoothly. 曲線段間的連續(xù)性定義 ? 參數(shù)連續(xù)性 : – C0連續(xù) （ 0階參數(shù)連續(xù) ） ——前一段曲線的終點與后一段曲線的起點相同 。 – C1連續(xù) （ 一階參數(shù)連續(xù) ） ——連接點處 一階導(dǎo)數(shù) 相同 。 – C2連續(xù) （ 二階參數(shù)連續(xù) ） ——連接點處 一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù) 相同 。 曲線段間的連續(xù)性定義 ? 幾何連續(xù)性 : – G0連續(xù) （ 0階幾何連續(xù) ） ——與 C0連續(xù)相同 。 – G1連續(xù) （ 一階幾何連續(xù) ） ——一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點成比例 ， （ 切向量不一定相等 ） 。 得出結(jié)論： C1連續(xù) ， 則 G1連續(xù) ， 反之不然 – G2連續(xù) （ 二階幾何連續(xù) ） —— 兩相鄰曲線段的連接點處一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均成比例 （ 此時 ， 兩曲線段在交點出的曲率相等 ） 。 參數(shù)連續(xù)性與幾何連續(xù)性的區(qū)別 ? 參數(shù)連續(xù)性 – 傳統(tǒng)意義上的、嚴格的連續(xù) ? 幾何連續(xù)性 – 只需限定兩個曲線段在交點處的參數(shù)導(dǎo)數(shù)成比例，不必完成相等，是一種更直觀、易于交互控制的連續(xù)性。 樣條的插值 ? 樣條的插值 ? 一般：進行分段插值（三次曲線，不高不低） – n+1個控制點將線段分 n段，每段有 4個待定系數(shù)。 – 通過線段交點處，設(shè)置邊界條件求出。 ? 曲線的參數(shù)空間： – 笛卡兒坐標 x,y,z定義的三維空間，其參數(shù)空間為 (x,t)、 (y,t)、 (z,t)， 能把任意一條參數(shù)曲線分解成參數(shù)空間的三個分量。 x(t)= y(t)= z(t)= t的取值范圍： [0， 1] 三次樣條曲線與調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)） 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。 （ 式二） 將式二代入式一，解得： D = C= B= A= 將 A、 B、 C、 D分別代入式一中 ,整理得 : p(t)=( ？ ) p0+ ( ？ ) p1+ ( ？ ) p’0+ ( ？ ) p’1 (t ?[0， 1] ) 三次樣條曲線推導(dǎo) ? 簡化為： p(t)=At3+Bt2+Ct+D （ 式一） p’(t)= （ 寫出 ） p0= , p1= , p’0= , p’1 = 。 （ 式二） 將式二代入式一，解得： D = p0 C= p’0 B=3p0 +3 p1 2 p’0 p’1 A= 2 p0 2 p1 + p’0 +p’1 將 A、 B、 C、 D分別代入式一中 ,整理得 : p(t)=(2t33t2+1) p0+ (2t3+3t2) p1+ (t32t2+t) p’0+ (t3t2) p’1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t) (t ?[0， 1] ) 調(diào)和函數(shù)（基函數(shù)） —開始出現(xiàn)于從代數(shù)形式到幾何形式的推導(dǎo)中。 調(diào)和函數(shù) : F1(t) = 2t33t2+1 F2(t) = 2t3+3t2 F3(t) = t32t