【正文】 6.(仿射）幾何不變性： 曲面的形狀僅與控制頂點(diǎn)的位置有關(guān)，與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)； ： 曲面一定位于控制頂點(diǎn)所構(gòu)造的凸包內(nèi)； 若將控制頂點(diǎn)三角化，則所構(gòu)成的網(wǎng)格是曲面片的分段平面近似； ： ： S(u,v) 在 u(或 v)方向上具有 pk（ 或 qk） 次微分（可導(dǎo)）， 其中 k 是節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度； 若將控制頂點(diǎn)三角化，則所構(gòu)成的網(wǎng)格是曲面片的分段平面近似； ： ： S(u,v) 在 u(或 v)方向上具有 pk（ 或 qk） 次微分（可導(dǎo)）， 其中 k 是節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度； NURBS曲線。 ： 若 n=p, m=q， U={0,…0 ， 1,…1}, V={0,…0 ， 1,…1} ， )()()()( , vBuBvNuN mjniqjpi ?B樣條函數(shù)的張量積即為 Berstein多項(xiàng)式的張量積； B樣條曲面退化為 Bezier曲面； ： 若 ],[],[),( 11 vvuuvu qjjpii ???? ?? )()(, NuN qjpi， 。 S = S + Nv[i] * temp 。 k=p。 vind = vspan – q + i 。 i=q。 S = 。 BasicFuncs(vspan, v, q, V, Nv) 。 BasicFuncs(uspan, u, p, U, Nu) 。1 ?????? qmspnr計(jì)算在給定參數(shù)值 ),( vu 處 B樣條曲面上點(diǎn)的位置矢量需要如下五個(gè)步驟： 1)計(jì)算 u 所在的節(jié)點(diǎn)區(qū)間，如 ),[1uuu ii ??2)計(jì)算非零的基函數(shù) )(, uN ppi? …, )(, uN pi3)計(jì)算 v所在的節(jié)點(diǎn)區(qū)間，如 )。 與 B樣條曲線分類一樣， B樣條曲面也可以分為均勻 B樣條曲面和非均 勻 B樣條曲面。 } } B樣條曲面 1． B樣條曲面的定義： 給定 )1()1( ??? mn 控制頂點(diǎn) ),. . . ,1,0。 Saved = left[jr]*temp 。 r++) { temp = N[r] / (right[r+1] + left[jr]) 。 for ( r = 0。 right[j] = U[i+j] – u 。 j = p 。 } BasicFuns(i, u, p, U, N) { /* pute the nonvanishing basic functions */ /* Input: i, u, p, U */ /* Output: N */ N[0] = 。 mid = (low + high)/2 。 while(u U[mid] || u = U[mid+1]) { if (u U[mid]) high = mid 。 high = n+1 。 int FindSpan(n, p, u, U) { /* Determine the knot span index */ /* Input : n, p, u, U */ /* Return : the knot span index */ if(u==U[n+1]) return n 。在 CAD/CAM軟件中，對(duì)于開曲線包 括首末端點(diǎn)位置連續(xù)的閉曲線，都建議兩端點(diǎn)取重復(fù)度 1?p 以使具有同次 Bezier曲線的端點(diǎn)幾何性質(zhì)，便于人們 對(duì)曲線端點(diǎn)的行為有較好的控制，且通常將曲線的定義域 取成規(guī)范參數(shù)域，即 ]1,0[],[1 ?? ?np uuu于是有 0. . .10 ???? puuu 0. . .1 ???? ?? knn uuu在這種情況下，非均勻 B樣條曲線可重新描述為： 設(shè) nPPP ,..., 10為給定空間的 1?n 個(gè)點(diǎn)； 基函數(shù)是定義在非均勻節(jié)點(diǎn)矢量： ? ???????????????? 1111,. ..,. ..,. ..,ppmppbbuuaaU ???buauNPuCnipii ??? ?? 0, )()(其中 ba, 分別是具有 1?p 重的節(jié)點(diǎn)； 1?? ba ) (在一般情況下，除非說(shuō)明，我們假定 計(jì)算 B樣條上給定參數(shù)處的點(diǎn)需要以下三步： 1)找出 u所在的節(jié)點(diǎn)區(qū)段； 2)計(jì)算非零的基函數(shù)； 3)計(jì)算非零基函數(shù)與相應(yīng)控制頂點(diǎn)的乘積和； 例： 令 p =2, U = {0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5}, 計(jì)算 u =5/2處的 B樣條曲線上的點(diǎn)； 因?yàn)? ),[ 54 uuu ? ,并且： 8/1)2/5(,8/6)2/5(,8/1)2/5( 2,42,32,2 ??? NNN可得： PPPC432 818681)2/5( ???除了具有 B樣條曲線的基本性質(zhì)外，還具有如下的特殊性： 1) 若 pn? 且 ? }1,.. .,1,0,.. .,0{ 11 ??? ppU ???則 )(uC 是一 Bezier曲線； 2) PCPC n?? )1(,)0( 03)沿著曲線由 u=0 到 u=1移動(dòng)時(shí)， )(, uN pi 如同一開關(guān)；當(dāng) u 移過(guò)一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)， )(, uN pi 關(guān)閉，下一段打開； 4)可利用多重節(jié)點(diǎn)構(gòu)造復(fù)雜的曲線： 如圖所示是一二次曲線， U={0， 0， 0， 1/4， 1/2， 3/4， 1， 1， 1},P2=P3， C(1/2)=P2=P3, C(1/4)到 C(1/2)和 C（ 1/2） 到 C（ 3/4） 分別是兩段直線。 5．重節(jié)點(diǎn)對(duì) B樣條曲線的影響 節(jié)點(diǎn)的非均勻或非等距分布包含兩層含義： (1)節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度不等； (2)重節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度為零。 8?n ， 3?p ，各種關(guān)系如下確定： 這說(shuō)明 ], . . . ,[], . . . ,[1210110 uuuuuuU pn ?? ?? ),[),[931 uuuuu np ?? ? ),[93 uu內(nèi)不含重節(jié)點(diǎn)時(shí)，曲線段數(shù) =n – p +1 =6。當(dāng)移動(dòng)其中的一個(gè)頂點(diǎn) Pi定義在區(qū)間 ),[1?? pii uu上那部分曲線，并不對(duì)整條曲線產(chǎn)生影響。 p ，控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù) 1?n , 節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) 1?m 具有如下關(guān)系 ： 1??? pnm設(shè) 次數(shù) 圖 B樣條曲線 4． B樣條曲線的性質(zhì) ),[ 1?? ii uuu， 1???? pmip ， )(uC, 位于控制頂點(diǎn) ipi PP ,...,?所建立的凸包內(nèi)； 圖 B樣條曲線凸包性 ： 曲線嚴(yán)格位于控制多邊的凸包內(nèi)；如果 ： )(uC 在每一區(qū)間 ),[ 1?? ii uuu 上都是次數(shù)不高于 p： )(uC 在每一曲線段內(nèi)部是無(wú)限次可微的，在定義域內(nèi)重復(fù)度為 k 的節(jié)點(diǎn)處則使 kp? 次可微或具有 kp? ： B樣條曲線的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。 )()()( 1,11111, uNuuuuuNuuuuuNpiipipipiipiipi ????????? ??????5）連續(xù)性 )(, uN pi 的求導(dǎo)公式如下： ???????????? ???????111,11,39。 是一分段多項(xiàng)式；我們僅僅對(duì)其在區(qū)間 感興趣； 稱為第 i 個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)段；其長(zhǎng)度可以為零； 若 則稱上式中除以外的每一節(jié)點(diǎn)為的重節(jié)點(diǎn) 。 1972年， Gordon, Riefeld等人拓展了Bezier曲線，用 B樣條基函數(shù)代替 Bernstein基函數(shù)，即形成了 B樣條曲線、曲面。 設(shè) 階 Bezier曲面 和另一塊 階曲面 拼接： mn ? ),(1 vuSml?),(2 vuS? ? ???? ?nimj mjniijvuvBuBPvuS0 0 ,11,0),()(),(? ? ???? ?limj mjliijvuvBuBPvuS0 0 ,21,0),()(),( 如果下列條件滿足 其中 k為常數(shù) ， 則 和 沿其公共邊界 P（ 1， v） 達(dá)到 G1連續(xù) 。 DeCasteljau(Q, n, u, S) 。i=n。j++) DeCasteljau(P[j][], n, u, Q[j]) DeCasteljau(Q, m, v, S) 。, . . . ,1,0( mjni ??),( vuS ),( 00 vu0j ???nijinij PuBuQ00,0,00 )()(0jniP ji ,. . . ,0},{ 0, ?)(0 vC u)(0 vCu0vv ?),()( 0000 vuSvC u ?DeCasteljauSurf(P, n, m, u, v, S) { /* Compute a point on a Bezier surface */ /* Input : P , n, m, u, v */ /* Output : S */ if(n=m) { for(j=0。再次對(duì) 計(jì)算 的值得到 。 6)幾何不變性 曲面 的形狀和位置與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān) ，僅僅與各控制頂點(diǎn)的位置有關(guān) ? 7) 變差遞減性 ? 對(duì)于 Bezier曲面 ， 空間任意條直線與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于該直線與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； ),( vuS ), . . . ,1,0。 Bezier 曲面 }{ ijP ),( vuS ),( vuS}{ ijP? 2． 性質(zhì) ? Bezier曲面 具有以下性質(zhì)： 1)端點(diǎn)位置 ： 四個(gè)端點(diǎn)分別是 這是因?yàn)? 2)邊界曲線 的四條邊界 線分別是以 ),( vuSnmnm PPPP , 0000)1,1(),0,1()1,0(),0,0(0000PPSPSPSPnmnm????),( vuS )1,(),1(),0,(),0( uSvSuSvSmPPPP 0020220 ... 0202200 ... nPPPP ? 為控制多邊形的 Bezier曲線。()0( 110101 PPnRPPnRnnnn?? ?????????? Bezier曲面 ? 1．定義 在空間給定 個(gè)點(diǎn) 稱下列張量積形式的 一般稱 Pij為 Bezier曲面 的控制頂點(diǎn)；把由兩組多邊形 (i=0, 1, … , n)和 (j=0,1,2, … ., m)組成的網(wǎng)稱為 Bezier曲面 的控制網(wǎng)格，記為 )1()1( ??? mnijP), . . . ,1,0。 PRPR n?? )1(。 Bezier曲線的任意分割是指給定兩個(gè)參數(shù)值 求原 Bezier曲線 上由兩點(diǎn) 與 所界定的那段子曲線段的控制頂點(diǎn)： 1)先用 對(duì)原曲線做一分為二的分割； Pn0nPPP 01000 ,. . . ,],0[ u 0110 ,. . . , nnn PPP ?]1,[u10 21 ??? uu]1,0[),( ?uuC )( 1uC )( 2uC2uu ?? 2） 對(duì) 那個(gè)子曲線用 做一分為二的分割 ， 所得子曲線段 就是所求的原 Bezier曲線的子曲線段 ? ? Bezier 曲線的分