【正文】 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 曲線性質(zhì)比較 ? 曲線相互轉(zhuǎn)換 。MBMB=GBEZM1H。MH = GH=GBi ? 從 B樣條形式轉(zhuǎn)換為另外兩種形式： GBiMBEZ MBEZ=GBiMBEZMBEZ=GH ? 從 B233。MH MH=GBiMHMH=GBEZUi。U； 三次 B樣條曲線可用矩陣表示為： P(u) =GBizier曲線可用矩陣表示為： P(u)=GBEZMH 不同的表示適用于不同的應(yīng)用場合 ， 并且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換 。zier曲線 均勻 B樣條曲線 非均勻 B樣條曲線 凸包性 √ √ √ 插值控制頂點 √ √ 增加節(jié)點的重數(shù)可以使曲線插值控制頂點 離散生成方法 較好 好 一般 計算復(fù)雜 連續(xù)性 C1,GC1 C1,GC1 C2,GC2 C2,GC2 控制形狀的參量 端點位置與切矢量 控制頂點 控制頂點 控制頂點與節(jié)點 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 ? 曲線性質(zhì)比較 ? 曲線相互轉(zhuǎn)換 三次參數(shù)曲線轉(zhuǎn)換 ? 三次 Hermite曲線 、 B233。zier曲線來說 ， 一般能達到 C1和 GC1， 但它很容易產(chǎn)生一個拐點 ， 所以達到 GC2較困難 。zier曲線 、 B樣條曲線可以在凸包性 、 連續(xù)性等方面進行簡單比較 。 可得到 : (Pi,jn/nm)/(Pi,jp/pm)=ωi,j m n p P 1,1 ? 即： ωi,j等于 Pi,j、 n、 p、 m四共線點的交比 ， ? 且可推斷出： ? 當(dāng) ωi,j增大時 ， 曲面被拉向控制頂點 Pi,j； ? 反之 ， 被推離控制頂點 Pi,j； ? 當(dāng) ωi,j變化時 ， 相應(yīng)得到沿直線 Pi,jm移動的 p點； ? 當(dāng) ωi,j趨向無窮大時 ， p點趨向與控制頂點 Pi,j重合 。ωi,j=1)； ? p=P(u,v。 ? 固定參數(shù)值 u∈ [ui,ui+k+1]與 v∈ [vi,vj+l+1]， 當(dāng)依次取為下列右端括號中不同值時 ， 分別得到點： ? m=P(u,v。 ? 這樣可使 NURBS曲面的四個角點正好就是控制頂點的四角頂點 ， 曲面在角點處的單向偏導(dǎo)矢正好就是邊界曲線在端點處的偏導(dǎo)矢 。 ? 與非有理 B樣條曲面一樣 ， NURBS曲面也可按所取節(jié)點矢量沿每個參數(shù)方向劃分為四種類型 。 它們都是 NURBS曲面的特例 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ● NURBS曲面性質(zhì) ? 基函數(shù)性質(zhì) ? 曲面一般性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面性質(zhì) ? NURBS曲線的大多數(shù)性質(zhì)都可以推廣到 NURBS曲面： ? 局部性質(zhì)是 NURBS曲線局部性質(zhì)的推廣； ? 與非有理 B樣條曲面同樣的凸包性質(zhì)； ? 在仿射與透視變換下的不變性； ? 沿 u向在重復(fù)度為 r的 u節(jié)點處沿 u向是 Ckr參數(shù)連續(xù)的 ， 沿 v向在重復(fù)度為 r的 v節(jié)點處是 Clr次參數(shù)連續(xù)的； ? NURBS曲面是非有理與有理 B233。 ? 極值：若 k,l1時 ， 恒有一個極大值存在 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS基函數(shù)性質(zhì) ? 有理雙變量基函數(shù) Ri,k,j,l(u,v)具有與非有理 B樣條基函數(shù)Bi,k(u)、 Bj,l(v)相類似的函數(shù)圖形與解析性質(zhì)： ? 局部支撐性質(zhì)： ? u不在區(qū)間 [ui,ui+k+1]內(nèi)或 v不在區(qū)間 [vi,vj+l+1]內(nèi)時 , Ri,k,j,l(u,v)=0； ? 規(guī)范性： ∑∑Ri,k,j,l(u,v)=1； ? 可微性：在每個子矩形域內(nèi)所有偏導(dǎo)數(shù)存在 。 ? 該定義域被其內(nèi)節(jié)點線劃分成 (mk+1) (nl+1)個子矩形 。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ? ?? ?minjljkiji vBuBDHvuPHvup0 0,一張 k l次 NURBS曲面 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面的構(gòu)造 ? 由 NURBS曲面的方程可知 ， 欲給出一張曲面的 NURBS表示 ， 需要確定的定義數(shù)據(jù)包括： ? 控制頂點 Pi,j及其權(quán)因子 ωi； ? u參數(shù)的次數(shù) k， v參數(shù)的次數(shù) l； ? u向節(jié)點向量 U與 v向節(jié)點向量 V； ? 次數(shù) k和 l也分別隱含于節(jié)點向量 U與 V中 。 ? H{}表示中心投影變換 ， 投影中心取為齊次坐標(biāo)的原點 。 一張 k l次 NURBS曲面 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ???mrnslskrsrljkijilkjiminjlkjijivBuBvBuBvuBvuBPvuP0 0,0 0,??☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面齊次坐標(biāo)表示 ? Di,j=[ωi,jPi,j ωi,j]稱為控制頂點 Pi,j的帶權(quán)控制頂點或齊次坐標(biāo) 。 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ??minjljkijiminjljkijijivBuBvBuBPvuP0 0,0 0,??一張 k l次 NURBS曲面 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ☆ NURBS曲面 ● NURBS曲面表示 ? 有理分式表示 ? 基函數(shù)表示 ? 齊次坐標(biāo)表示 ? NURBS構(gòu)造 ● NURBS曲面性質(zhì) ● NURBS形狀因子 ☆ 三次曲線比較 NURBS曲面有理基函數(shù)表示 這里： Ri,k,j,l(u,v)是雙變量有理基函數(shù) 。 ? 參數(shù) ωi,j是與控制頂點 Pi,j聯(lián)系的權(quán)因子 ， 規(guī)定四角頂點處用正權(quán)因子 ， 即 ω0,0,ωm,0,ω0,n,ωm,n0， 其余 ωi,j≥0， 以防止分母為零 、 保留凸包性質(zhì)及曲線不致因權(quán)因子而退化為一點 。 ☆ NURBS曲線 ● 有理樣條曲線 ● NURBS曲線表示 ● 形狀因子概念 ● NURBS曲線形狀 ? 控制頂點定位 ? 反插節(jié)點