曲線積分與曲面積分(編輯修改稿)
2024-11-14 16:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 分 變 量222 F ( x,y ) 2xy i x j , 1 O ( 0,0) y x B ( 1,1) . 2 O ( 0,0) A ( 1,0) , A B3 y dx z dy x???????例 設(shè) 有 一 平 面 力 場 一 質(zhì) 點 在 場力 作 用 下 運 動 ， 求 下 述 情 況 下 場 力 所 做 的 功 。（ ） 質(zhì) 點 從 處 沿 拋 物 線 進 行 到處（ ） 質(zhì) 點 從 處 沿 直 線 行 進 到 再從 沿 直 線 行 進 到 處 。例 計 算 dz , A ( 2,0, 0) B ( 3,4, 5) C ( 3,4, 0)?其 中 為 從 點 到點 再 到 點 的 定 向 折 線 。( )BCABABAB A B B C ,x 2 y z A B : S { 1 , 4 , 5 } , t1 4 5x 2 t y 4 t , t : 0 1z 5t49 S 4 t d t 5 t d t 2 t d tGGG = + ? += = = =236。 =+239。239。239。239。239。=?237。239。239。239。 =239。239。238。= ? ? + ?蝌 ?242。u u u r u u u ru u u ru u ur u u uru u ur u u ur解：先求出 方程－－有點向式直線方程可加性這里2) ( 3) ,9( 6) , 6( 1) ( 25( 1 ) ( 2) ( 3 ) 2063821320820619721915249 15 ,S 10:t5 5tz4y3x 55z04y03x { 0, 0, 5}S:BCBCBC頁）（習(xí)題：頁頁，預(yù)習(xí)：復(fù)習(xí)：這里?????????????????????D D 8 4 1 D xoyDP ( x,y ) ,Q ( x,y ) DQP d P ( x,y ) dx Q ( x,y ) dyxyz y D ??????????????????? ?格 林 公 式一 格 林 公 式定 理 （ 格 林 定 理 ） ： 設(shè) 是 平 面 上 的 有 界閉 區(qū) 域 ， 其 邊 界 曲 線 是 由 有 限 條 光 滑 曲 線所 組 成 ， 如 果 函 數(shù) 在 上 具 有一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 則 ：證 明 ： 只 對 既 是 型 又 是 型 的 區(qū) 域 給 出 證 明2112 2 3 4 1y ( x )bb21D a y ( x ) aLL A A A AD112 2PPd d x d y {P [ x , y ( x ) ] P [ x ,y ( x ) ] }dxyyP ( x ,y ) d x L : y y ( x) L : y y ( x) ????????? ? ? ????? ? ? ?? ? ? ? ?＋一 方 面 ：另 一 方 面 ：其 中D DP d P ( x ,y ) d xyQP1 ,xy 2 3 P ( x,y ) ,Q ( x,y )??????????? ?＋故 有注 意 ： 應(yīng) 用 格 林 公 式 ， 注 意 是 否 有 間 斷 點 。曲 線 必 須 是 “ 閉 ” 的 ， 且 注 意 其 正 方 向 。必 須 校 對 ， 不 能 張 冠 李 戴 。D DDDD4 D 1 P ( x, y ) y ,Q ( x, y ) 0, u( D ) d y dx 2 P ( x, y ) 0, Q ( x, y ) x, u( D ) xd y1 3 P ( x, y ) y , Q ( x, y ) x, 2d xd y21 xdy y dx21 ??????????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ?????由 格 林 公 式 可 計 算 平 面 區(qū) 域 之 面 積（ ） 令（ ） 令（ ） 令例4L4x dx xy dy , L ( 0, 0) ,( 1, 0) ,( 0, 1) P ( x, y ) x ,Q ( x, y ) xy (????計 算 其 中 是 以為 頂 點 的 三 角 形 區(qū) 域 的 正 向 邊 界 。解 ： 格 林 公 式 ）? ? ? ?2yL22 x 2y dx 3x y e dy , L x 2y 2 A ( 2,0) B ( 0,1) x 1 y B ( 0, 1) C( 1, 0) [] 3 21 2 3 ??????例 計 算 其 中 是 由 直 線上 從 點 到 點 的 一 段 弧 ，及 圓 弧 從 到 的 一 段 連接 而 成 的 定 向 曲 線 。解 ： 分 析 不 是 閉 曲 線 ， 加 上 一 段 定 向 曲 線 ， 才 能使 用 格 林 公 式 。例 （ 頁 例 ） 求 面 積 ， 用 格 林 公 式 之 特 殊 情 況2222Lxd y y dx4 , L D : x 2y 1xy ????計 算 。例 計 算 其 中 是 橢 圓 形 區(qū) 域的 正 向 邊 界 。? ?2 2 2 222222DyxP ( x,y ) ,Q ( x,y )x y x yQ y x P Q P , d 0,x y x yxy D 2 2 2 r 0, C : x y rr D1 ???????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ???解 ：對 嗎 ？偏 導(dǎo) 數(shù) 在 內(nèi) 有 間 斷 點 （ 奇 點 ） ， 不 能應(yīng) 用 格 林 公 式 ， 怎 么 辦 ？選 擇 適 當 小 的 半 徑 使 圓 周連 通 區(qū) 域 ， 則 可 應(yīng) 用 格 林 公 式 1rrrrrD DL CL CC2 2 2CC22QP0 d P dx Q dyxy P dx Q dy P dx Q dyP dx Q dy P dx Q dy P dx Q dyxdx y dy 1 xd x y dyx y r2 r 2r????????? ? ???????? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ??? ???? ? ???故 得208 213 213 2208 4 220 1( 1) ,3( 1) ( 2) ( 5) ,4????復(fù) 習(xí) ： 頁 ， 預(yù) 習(xí) ： 頁習(xí) 題 ： （ 頁 ）D D 8 4 QP d P ( x,y ) dx Q ( x,y ) dyxy
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