利用對稱性簡化兩類曲面積分的計算畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-17 04:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 值為在曲面上的第一類曲面積分,記為,即 ,其中稱為被積函數(shù), 稱為積分曲面.定理1[5] 設(shè)在分片光滑的曲面上連續(xù). 若關(guān)于面對稱,則其中為在面上方的部分.若關(guān)于平面（或平面）對稱,關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)也有類似的結(jié)論.定理2[7] 若積分曲面關(guān)于,具有輪換對稱性,則 .例1 計算曲面積分,其中為球面上的部分.解: 利用定理1知設(shè)={},則 .例2 計算,為錐面被曲面所截下的部分.解: 因為關(guān)于面對稱,被積函數(shù)中與都是的奇函數(shù),由定理1.又因為,所以,原式.例3 計算曲面積分,其中:.解: 令:,.則,.關(guān)于原點對稱,且被積函數(shù)分別為關(guān)于的偶函數(shù),則根據(jù)定理1得, .例4[11] 計算曲面積分,其中是球面.解: 如果按照常規(guī)方法來解,計算量比較大,如果利用對稱函數(shù)的特性,非常簡捷.因為球面關(guān)于,具有輪換對稱性,所以根據(jù)定理2得,.定義5[17] 設(shè)為有向光滑曲面,稱為在上的第二類曲面積分（如果右面的第一類曲面積分存在）.（鈍角）時,有向曲面元在面上的有向投影為正（負(fù)）.一般地,有如下定理:定理3[5] 設(shè)分片光滑的有向曲面關(guān)于平面對稱,在平面上方部分記為（方程為）,下方部分記為,又設(shè)在上連續(xù),則若關(guān)于平面（或平面）對稱,關(guān)于（或）為奇函數(shù)或偶函數(shù)有類似的結(jié)論.定理4[7] 若積分曲面關(guān)于,具有輪換對稱性,則 .例5 計算,其中: 的下側(cè).解: 是的偶函數(shù), 關(guān)于面對稱,所以 .而是的偶函數(shù), 關(guān)于面對稱,所以根據(jù)定理3得.因此,原式.例6[12] 計算,式中為球面的外側(cè)位于的部分.解: 依題設(shè)條件分析知,該曲面積分滿足定理3中的結(jié)論,故有其中, . 例7 計
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