曲線積分與曲面積分期末復(fù)習(xí)題高等數(shù)學(xué)下冊(cè)(上海電機(jī)學(xué)院)(編輯修改稿)
2025-02-10 12:08 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 z,其中G是從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)B(0, 0, 0)的直線段AB解：直線段AB的方程是xyz==；化為參數(shù)方程得： 321x=3t, y=2t, z=t, t從1變到0，所以：I=＝242。Gx3dx+3zy2dyx2ydz 242。01[(3t)33+3t(2t)22(3t)22t]dt＝87242。t3dt=1087 ＃ 4199。11. 計(jì)算曲線積分I=242。AMO199。(esiny2y)dx+(ecosy2)dy, 其中AMO是由點(diǎn)A(a,0)22xx至點(diǎn)O(0, 0) 的上半圓周x+y=ax解：在x軸上連接點(diǎn)O(0, 0), A(a, 0)將AMO擴(kuò)充成封閉的半圓形AMOA在線段OA上, 242。(exsiny2y)dx+(excosy2)dy=0 OA從而242。AMO199。199。=242。AMO199。+242。OA=AMOA又由Green公式得:AMOA(exsiny2y)dx+(ecosy2)dy=xx2+y2163。ax242。242。2dxdy=pa24 ＃222212. 計(jì)算曲線積分z3dx+x3dy+y3dz其中L是z=2(x+y)與z=3xy 的交線L沿著曲線的正向看是逆時(shí)針?lè)较蚪猓簩寫成參數(shù)方程:x=cost, y=sint, z=2 t: 0174。2p32p2p于是: z3dx+x3dy+y3dz=242。8sintdt+242。cos4tdt =p 00L4另證：由斯托克斯公式得3Lzdx+x3dy+y3dz=242。242。(3y20)dydz+(3z20)dxdz+(3x20)dxdy229。229。:z=2,x2+y2163。1上側(cè)，則：209。242。Lzdx+xdy+ydz=3333332xdxdy=3dqrcosqdr=p ＃ 242。242。242。242。004x2+y2163。122p113. 設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分，計(jì)算曲面S的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篋xy=(x,y)0163。y163。1x,0163。x163。1 6 {}第十章 曲線積分與曲面積分參考答案I=242。242。dS=242。242。dxdy＝242。dx242。SDxy11x003dy＝242。103(1x)dx= ＃ 22214. 計(jì)算曲線積分242。(xy)dx+(x+y)dyx2+y2L其中L是沿著圓(x1)+(y1)=1 從點(diǎn)A(0,1)到點(diǎn)B(2, 1)的上半單位圓弧解：設(shè)P(x,y)=xyx+y22， Q(x,y)=x+yx+y22182。P182。Qy2x22xy==當(dāng)x+y185。0時(shí)， 222182。y182。x(x+y)22故：所求曲線積分在不包圍原點(diǎn)的區(qū)域 則：242。(xy)dx+(x+y)dyx+y22L=242。AB174。(xy)dx+(x+y)dyx+y22 =242。(15. 確定l的值，使曲線積分12x1)dx =ln5arctan2 ＃ 022x+12C242。(x+4xyl)dx+(6xl1y22y)dy在XoY平面上與路徑無(wú)關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)為(0,0)，終點(diǎn)為(3,1)時(shí)，求此曲線積分的值。解：由已知，P=x+4xy,Q=6x由條件得 2ll12y2y； 182。P182。Ql1l2 , 即 4lxy=6(l1)x,l=3, =182。y182。x(3,1)(0,0)230。132322223246。x+4xydx+6xy2ydy=xy+2xy247。()()231。242。(0,0)232。3248。(3,1)222=26 ＃ 1 242。242。zS16. 設(shè)曲面S為球面x+y+z=4被平面z=1截出的頂部，計(jì)算I=解：S的方程為：z=4x2y2S在xoy平面的投影區(qū)域?yàn)椋篋xy=(x,y)x+y163。3I={22}Dxy242。242。4x22y＝242。dq242。202p02rdr ＝4pln2 ＃ 4r2222217. 計(jì)算I=242。242。yzdydz+xzdzdx+(x+y+z)dxdy，其中229。是x+y+(za)=a，229。 7 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案0163。z163。a，取下側(cè)解：作輔助曲面229。1: z=a，(x+y222222163。a2)取上側(cè) 設(shè)W為x+y+(za)=a,z=a所圍閉區(qū)域Dxy為平面區(qū)域x2+y2163。a2I=(229。+229。1209。242。242。242。242。)yzdydz+xzdxdz+(x+y+z)dxdy 229。1=242。242。242。dxdydzWDxy242。242。(x+y
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