曲線積分與曲面積分期末復(fù)習題高等數(shù)學下冊(上海電機學院)(參考版)
2025-01-17 12:08本頁面
【正文】 42y+y214249。xdx+242。(2,1)1,0242。y182。P182。(x)22+y2(xdx+ydy)在XOY面與路徑無關(guān)，并求值。y0(excosymx)dy＝exsinymxyx最后(esinymy)dx+(ecosymx)dy＝U(1,1)U(0,0)=esin1m ＃L242。(exsinymy)dx+(excosymx)dy 242。(x,y)(0,0)(exsinymy)dx+(excosymx)dy(x,y)(0,x)=242。(x,0)174。xx故知(esinymy)dx+(ecosymx)dy是某個函數(shù)的全微分。Q， =excosym=182。解：令P(x,y)=esinymy，Q(x,y)=ecosymx，則有 xx 12 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案182。3dzp=00r23ppp= ＃ 22四、綜合題證明在整個XOY平面上，(esinymy)dx+(ecosymx)dy是某個函數(shù)的全微分，求這樣的一個函數(shù)并計算(esinymy)dx+(ecosymx)dy，其中L為從(0,0)到Lxx242。dq242。242。3dxdydzWx2+2163。242。1229。229。242。242。242。y182。R++=3，由高斯公式 182。P182。解：補充曲面229。1的部分的下2x+zdydz+zdxdyy()x242。q0162r=1263計算曲面積分側(cè)。24r5sin2qdr 012p2p2 1249。242。x2+y163。242。2 。2y=e2x，解得y=e2x(x+c)，（2分）代入條件f(0)=1得C=1 從而有y=e2x(x+1) ＃3計算對面積的曲面積分解:Zx=2ds, S: z=其中1163。y182。(x)。P182。y182。Q=2f(x)+e2x,=f162。 11 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案解：182。(xcos2x+4xsinx)dx=4p ＃ 0p設(shè)f(x)可微，f(0)=1且曲線積分L[2f(x)+e2x]ydx+f(x)dy與路徑無關(guān)。(0,p) dy=2dx242。Lxcosydx+ysinxdy，其中L是由點A（0，0）到B（π，2π）的直線段。124=dxdy=dydz=dzdx可知。242。242。242。242。4D229。242。1222222xdydz+ydxdz+zdxdy[x+y+(1xy)]dxdy== 242。242。xdy]dx=D001 ＃ 22計算曲面積分的上側(cè)。xdxdy242。解：利用Green公式1322l1(x+xy)dx+(x+y)dy=242。242。242。242。(z1)dz=2p,其中D(z):x2+y2163。242。dv=242。242。242。S+S1S1S+S1209。242。242。,取上側(cè),I=209。x2+y2163。S26．計算曲面積分I=z=1+x2+y2被平面z=3所截下的部分，取下側(cè)。 10 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案2x8z+1dydz4yzdzdx+y2z()()dxdy，其中S是曲面242。4248。sinqdq = 231。1 =2p09246。dr 02248。231。230。rdr242。242。(rsinqz)rdrdqdzWW=242。242。242。z原式=242。x182。Q182。解： P=(yz)x,Q=0,R=xy182。242。221+xdx=2p+2arctan2 ＃ 21+x25．用高斯公式計算22xydxdy+yzxdydz+=1及平面，其中柱面S:y()()x209。242。y(x2+y2)182。Q2解：P=2,Q=2,==,(x+y2185。 x+yyx182。12rdz2p22002p22r=8p8p=0.＃24．計算曲線積分I=C242。dq242。242。242。2dxdyS1=2242。(1+1)dv242。242。242。242。(zS2+x)dydz+zdxdy=S+S1209。 2222 9 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案242。取上側(cè)，S與S1構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域為W，S1對應(yīng)的Dxy為：x+y163。解：利用高斯公式，取S1:z=2且x+y163。242。0，y179。dxdy=2pab. ＃ 242。2dxdy=2242。(ye)dx+(3x+e)dy=242。設(shè)L所圍成的閉區(qū)域為D，則其面積s=pab。x182。Q182。L(ye)dx+(3x+e)dy，其中L是橢圓a2+b2=1的正向
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