曲線積分與曲面積分重點總結(jié)例題(參考版)
2025-03-28 03:42本頁面
【正文】 8高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組。 5(2)。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式，簡化計算的技巧. ，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。 (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對面積的曲面積分的計算 面密度為f(x, y, z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為. 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為D , 那么 曲面的面積元素為,質(zhì)量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質(zhì)量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 例1 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。 (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)163。0時, 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對面積的曲面積分的存在性: 我們指出當f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c c 2為常數(shù), 則 。求質(zhì)量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點)。 6 (2) , (5)167。 4 (3) 。師生活動設(shè)計講課提綱、板書設(shè)計作業(yè) P214: 2 (1)。0, 小結(jié)2. 格林公式中的等價條件。G, 使, 不妨設(shè)h0, 則由的連續(xù)性, 存在M0的一個d 鄰域U(M0, d), 使在此鄰域內(nèi)有. 于是沿鄰域U(M0, d)邊界l 的閉曲線積分 , 這與閉曲線積分為零相矛盾, 因此在G內(nèi). 應(yīng)注意的問題: 定理要求, 區(qū)域G是單連通區(qū)域, 且函數(shù)P(x, y)及Q(x, y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果這兩個條件之一不能滿足, 那么定理的結(jié)論不能保證成立. 破壞函數(shù)P、Q及、連續(xù)性的點稱為奇點. 例5 計算, 其中L為拋物線y=x2上從O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧. 解: 因為在整個xOy面內(nèi)都成立, 所以在整個xOy面內(nèi), 積分與路徑無關(guān). . 討論: 設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線, L的方向為逆時針方向, 問是否一定成立？提示: 這里和在點(0, 0)不連續(xù). 因為當x2+y2185。219。0時, 有. 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件 曲線積分與路徑無關(guān): 設(shè)G是一個開區(qū)域, P(x, y)、Q(x, y)在區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 如果對于G內(nèi)任意指定的兩個點A、B以及G內(nèi)從點A到點B的任意兩條曲線L L 2, 等式 恒成立, 就說曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), 否則說與路徑有關(guān). 設(shè)曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān), L 1和L 2是G內(nèi)任意兩條從點A到點B的曲線, 則有 , 因為 219。D時, 在D內(nèi)取一圓周l: x2+y2=r 2(r0). 由L及l(fā)圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1, 應(yīng)用格林公式得, 其中l(wèi)的方向取逆時針方向. 于是 =2p.記L 所圍成的閉區(qū)域為D. 當(0, 0)207。D時, 由格林公式得。d}. 類似地可證 . 由于D即是X－型的又是Y－型的, 所以以上兩式同時成立, 兩式合并即得 . 應(yīng)注意的問題: 對復(fù)連通區(qū)域D, 格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分, 且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向. 設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L, 取P=y, Q=x, 則由格林公式得 , 或. 例1. 橢圓x=a cosq , y=b sinq 所圍成圖形的面積A. 分析: 只要, 就有. 例2 設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲
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