曲線積分與曲面積分重點總結例題-資料下載頁
2025-03-25 03:42本頁面
【正文】 的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數u(x, y)的全微分? , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導數, 且恒有, G1是G內不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內的曲線積分是否與路徑無關?(2)在G 1內的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內, 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導數, , 但非常簡單, 那么(1)如何計算G內的閉曲線積分? (2)如何計算G內的非閉曲線積分? (3)計算, 其中L為逆時針方向的上半圓周(xa)2+y2=a 2, y179。0, 小結2. 格林公式中的等價條件。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意格林公式和其中的等價條件，要結合實例，反復講解。師生活動設計講課提綱、板書設計作業(yè) P214: 2 (1)。 3 。 4 (3) 。 5 (1) , (4) 。 6 (2) , (5)167。11. 4 對面積的曲面積分一、對面積的曲面積分的概念與性質 物質曲面的質量問題: 設S為面密度非均勻的物質曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質量: 把曲面分成n個小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。求質量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點)。 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義 設曲面S是光滑的, 函數f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(xi, hi, zi ), 如果當各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時, 極限總存在, 則稱此極限為函數f(x, y, z)在曲面S上對面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數, S叫做積分曲面. 對面積的曲面積分的存在性: 我們指出當f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時對面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據上述定義面密度為連續(xù)函數r(x, y, z)的光滑曲面S的質量M可表示為r(x, y, z)在S上對面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數在S上對面積的曲面積分等于函數在光滑的各片曲面上對面積的曲面積分之和. 例如設S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對面積的曲面積分的性質: (1)設c c 2為常數, 則 。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。 (3)設在曲面S上f(x, y, z)163。g(x, y, z), 則 。 (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對面積的曲面積分的計算 面密度為f(x, y, z)的物質曲面的質量為. 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為D , 那么 曲面的面積元素為,質量元素為. 根據元素法, 曲面的質量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy, 函數z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導數, 被積函數f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數f(x, y, z)在S上對面積的曲面積分為 . 例1 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。a2h2. 因為 , , , 所以 . 提示: . 例2 計算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個邊界曲面. 解 整個邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 小結1. 對面積的曲面積分的定義和計算2. 格林公式中的等價條件。教學方式及教學過程中應注意的問題在教學過程中要注意利用球面坐標、柱面坐標、對稱性、重心公式，簡化計算的技巧. ，要結合實例，反復講解。師生活動設計課后習題：1，3，7講課提綱、板書設計作業(yè) P218: 4(3)。 5(2)。6(1), (3), (4)。8高等數學課程建設組
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