曲線積分與曲面積分重點(diǎn)總結(jié)例題-資料下載頁
2025-03-25 03:42本頁面
【正文】 的閉曲線積分是否為零? (3) 在G內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? , 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且恒有, G1是G內(nèi)不含M0的單連通區(qū)域, 那么(1)在G 1內(nèi)的曲線積分是否與路徑無關(guān)?(2)在G 1內(nèi)的閉曲線積分是否為零?(3) 在G 1內(nèi)P(x, y)dx+Q(x, y)dy是否是某一函數(shù)u(x, y)的全微分? 3. 在單連通區(qū)域G內(nèi), 如果P(x, y)和Q(x, y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 但非常簡單, 那么(1)如何計(jì)算G內(nèi)的閉曲線積分? (2)如何計(jì)算G內(nèi)的非閉曲線積分? (3)計(jì)算, 其中L為逆時(shí)針方向的上半圓周(xa)2+y2=a 2, y179。0, 小結(jié)2. 格林公式中的等價(jià)條件。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意格林公式和其中的等價(jià)條件，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè) P214: 2 (1)。 3 。 4 (3) 。 5 (1) , (4) 。 6 (2) , (5)167。11. 4 對(duì)面積的曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 物質(zhì)曲面的質(zhì)量問題: 設(shè)S為面密度非均勻的物質(zhì)曲面, 其面密度為r(x, y, z), 求其質(zhì)量: 把曲面分成n個(gè)小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積)。求質(zhì)量的近似值: ((xi, hi, zi )是DSi上任意一點(diǎn))。 取極限求精確值: (l為各小塊曲面直徑的最大值). 定義 設(shè)曲面S是光滑的, 函數(shù)f(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n小塊: DS1, DS2 , , DSn (DSi也代表曲面的面積), 在DSi上任取一點(diǎn)(xi, hi, zi ), 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時(shí), 極限總存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y, z)在曲面S上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分, 記作, 即 .其中f(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 對(duì)面積的曲面積分的存在性: 我們指出當(dāng)f(x, y, z)在光滑曲面S上連續(xù)時(shí)對(duì)面積的曲面積分是存在的. 今后總假定f(x, y, z)在S上連續(xù). 根據(jù)上述定義面密度為連續(xù)函數(shù)r(x, y, z)的光滑曲面S的質(zhì)量M可表示為r(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分: 如果S是分片光滑的我們規(guī)定函數(shù)在S上對(duì)面積的曲面積分等于函數(shù)在光滑的各片曲面上對(duì)面積的曲面積分之和. 例如設(shè)S可分成兩片光滑曲面S1及S2(記作S=S1+S2)就規(guī)定 . 對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì): (1)設(shè)c c 2為常數(shù), 則 。 (2)若曲面S可分成兩片光滑曲面S1及S2, 則 。 (3)設(shè)在曲面S上f(x, y, z)163。g(x, y, z), 則 。 (4), 其中A為曲面S的面積. 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算 面密度為f(x, y, z)的物質(zhì)曲面的質(zhì)量為. 另一方面, 如果S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈 , 那么 曲面的面積元素為,質(zhì)量元素為. 根據(jù)元素法, 曲面的質(zhì)量為 . 因此. 化曲面積分為二重積分: 設(shè)曲面S由方程z=z(x, y)給出, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy, 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)f(x, y, z)在S上連續(xù), 則 . 如果積分曲面S的方程為y=y(z, x), Dzx為S在zOx面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 如果積分曲面S的方程為x=x(y, z), Dyz為S在yOz面上的投影區(qū)域, 則函數(shù)f(x, y, z)在S上對(duì)面積的曲面積分為 . 例1 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部. 解 S的方程為, Dxy : x2+y2163。a2h2. 因?yàn)? , , , 所以 . 提示: . 例2 計(jì)算, 其中S是由平面x=0, y=0, z=0及x+y+z=1所圍成的四面體的整個(gè)邊界曲面. 解 整個(gè)邊界曲面S在平面x=0、y=0、z=0及x+y+z=1上的部分依次記為SSS3及S4, 于是 . 提示: S4: z=1xy, . 小結(jié)1. 對(duì)面積的曲面積分的定義和計(jì)算2. 格林公式中的等價(jià)條件。教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題在教學(xué)過程中要注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式，簡化計(jì)算的技巧. ，要結(jié)合實(shí)例，反復(fù)講解。師生活動(dòng)設(shè)計(jì)課后習(xí)題：1，3，7講課提綱、板書設(shè)計(jì)作業(yè) P218: 4(3)。 5(2)。6(1), (3), (4)。8高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組
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