[理學(xué)]數(shù)學(xué)分析第六講曲線和曲面積分-資料下載頁(yè)
2025-08-21 15:41本頁(yè)面
【正文】 式得,. 進(jìn)行球坐標(biāo)變換,..例2（南京大學(xué)2001年）計(jì)算曲面積分,其中為錐面,方向取外側(cè).解 用曲面:(方向向上)補(bǔ)齊錐面成封閉曲面,其中為所圍成的區(qū)域,: ., 所以, 進(jìn)而 .例3（哈爾濱工業(yè)大學(xué)2005年）計(jì)算,其中為立方體邊界的外表面.解 利用Gauss公式得:.例4（華南理工大學(xué)2004年）計(jì)算,其中為單位球的上半部分,外側(cè)為正向.解 補(bǔ)上平面:,方向向下,:..例5（同濟(jì)大學(xué)1998年）求,曲面為,為曲面上外法線向量的方向余弦.解 補(bǔ)上平面:,方向向下,: 由于曲面為,所以為,，進(jìn)行球坐標(biāo)變換，,則.例6（中國(guó)科技大學(xué)1998年）設(shè)為球面的內(nèi)側(cè),求積分.解 由Gauss公式得: ,由于曲面為,所以為,進(jìn)行球坐標(biāo)變換,則.例7(重慶大學(xué)2003年)求,其中為球面的外部.解 由Gauss公式得:.由于曲面為,所以為,進(jìn)行球坐標(biāo)變換,則.例8（北京大學(xué)2007年）計(jì)算,其中為半球面,方向?yàn)樯蟼?cè).解:令為平面,方向取下側(cè). 由Gauss公式得:,其中所圍成的區(qū)域?yàn)?進(jìn)行球坐標(biāo)變換,則.因?yàn)樵邳c(diǎn)處的法向量為,原因是的方程為: ,則,進(jìn)而有.所以,有一型曲面積分與二型曲面積分關(guān)系得:.進(jìn)而.例9（南京大學(xué)2002年）計(jì)算曲面積分,其中為圓柱面,三個(gè)坐標(biāo)平面及旋轉(zhuǎn)拋物面所圍立體位于第一象限部分的外側(cè)曲面.解 由的表達(dá)式知, 在三個(gè)坐標(biāo)平面上的值為,所以補(bǔ)齊的三個(gè)坐標(biāo)平面后值不變. 表示與補(bǔ)齊的三個(gè)坐標(biāo)平面后的封閉曲面.由Gauss公式得:, 進(jìn)行柱坐標(biāo)變換(1), (2) , 所以練習(xí)[1]（武漢大學(xué)2004年）計(jì)算曲面積分,其中是由圓柱面,，（）及三個(gè)坐標(biāo)平面所圍的第一象限部分的外側(cè)曲面. (答案: ).[2](上海交通大學(xué)2004年,中科院2007年）計(jì)算曲面積分,其中是曲面上那部分的正側(cè). (答案: ).[3]（南京大學(xué)2003年）計(jì)算曲面積分,其中為上半球面的外側(cè). (答案: ).[4]（蘭州大學(xué)2005年）求,其中是平面中的曲線繞軸的旋轉(zhuǎn)曲面部分的外側(cè).(答案: ).[5]（東北大學(xué)2002年）設(shè)為上半球面的上側(cè),求第二類曲面積分.(答案: ).[6]（大連理工大學(xué)2006年）求,其中是曲面的外表面. (答案: ).[7]（南京理工大學(xué)2005年）求積分,其中,其中為半球面和圓的外側(cè),為在點(diǎn)處外法線的單位向量. (答案: ).[8]（南京理工大學(xué)2006年）求積分,其中,其中為球面的外側(cè),為在點(diǎn)處外法線的單位向量. (答案: ).[9]（西安電子科技大學(xué)2006年）計(jì)算曲面積分，其中為有向曲面 （），其法向量與軸正向的夾角為銳角. (答案: ).[10]（南京航空航天大學(xué)2004年）設(shè)為半球面,方向指向軸的正向,為常數(shù),求.(答案: ).[11] （西安電子科技大學(xué)2002005年，東南大學(xué)2005年）計(jì)算，其中為下半球面的上側(cè), 是大于零的常數(shù). (答案: ).[12]（山東科技大學(xué)2004年）設(shè)是拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè),求曲面積分.(答案: ).[13]（山東科技大學(xué)2005年）計(jì)算曲面積分，其中為球面的外表面. (答案: ).[14]（北京交通大學(xué)2004年）計(jì)算曲面積分，其中為橢球面,外法線是正向. (答案: ).[15]（華南理工大學(xué)2005年）求,其中為橢球面的上半部分,其方向?yàn)橄聜?cè). (答案: ).[16]（中山大學(xué)2006年）求,其中是單葉雙曲面在的部分. (答案: ).37
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