[理學]數學分析第六講曲線和曲面積分-資料下載頁
2025-08-21 15:41本頁面
【正文】 式得,. 進行球坐標變換,..例2（南京大學2001年）計算曲面積分,其中為錐面,方向取外側.解 用曲面:(方向向上)補齊錐面成封閉曲面,其中為所圍成的區(qū)域,: ., 所以, 進而 .例3（哈爾濱工業(yè)大學2005年）計算,其中為立方體邊界的外表面.解 利用Gauss公式得:.例4（華南理工大學2004年）計算,其中為單位球的上半部分,外側為正向.解 補上平面:,方向向下,:..例5（同濟大學1998年）求,曲面為,為曲面上外法線向量的方向余弦.解 補上平面:,方向向下,: 由于曲面為,所以為,，進行球坐標變換，,則.例6（中國科技大學1998年）設為球面的內側,求積分.解 由Gauss公式得: ,由于曲面為,所以為,進行球坐標變換,則.例7(重慶大學2003年)求,其中為球面的外部.解 由Gauss公式得:.由于曲面為,所以為,進行球坐標變換,則.例8（北京大學2007年）計算,其中為半球面,方向為上側.解:令為平面,方向取下側. 由Gauss公式得:,其中所圍成的區(qū)域為.進行球坐標變換,則.因為在點處的法向量為,原因是的方程為: ,則,進而有.所以,有一型曲面積分與二型曲面積分關系得:.進而.例9（南京大學2002年）計算曲面積分,其中為圓柱面,三個坐標平面及旋轉拋物面所圍立體位于第一象限部分的外側曲面.解 由的表達式知, 在三個坐標平面上的值為,所以補齊的三個坐標平面后值不變. 表示與補齊的三個坐標平面后的封閉曲面.由Gauss公式得:, 進行柱坐標變換(1), (2) , 所以練習[1]（武漢大學2004年）計算曲面積分,其中是由圓柱面,，（）及三個坐標平面所圍的第一象限部分的外側曲面. (答案: ).[2](上海交通大學2004年,中科院2007年）計算曲面積分,其中是曲面上那部分的正側. (答案: ).[3]（南京大學2003年）計算曲面積分,其中為上半球面的外側. (答案: ).[4]（蘭州大學2005年）求,其中是平面中的曲線繞軸的旋轉曲面部分的外側.(答案: ).[5]（東北大學2002年）設為上半球面的上側,求第二類曲面積分.(答案: ).[6]（大連理工大學2006年）求,其中是曲面的外表面. (答案: ).[7]（南京理工大學2005年）求積分,其中,其中為半球面和圓的外側,為在點處外法線的單位向量. (答案: ).[8]（南京理工大學2006年）求積分,其中,其中為球面的外側,為在點處外法線的單位向量. (答案: ).[9]（西安電子科技大學2006年）計算曲面積分，其中為有向曲面 （），其法向量與軸正向的夾角為銳角. (答案: ).[10]（南京航空航天大學2004年）設為半球面,方向指向軸的正向,為常數,求.(答案: ).[11] （西安電子科技大學2002005年，東南大學2005年）計算，其中為下半球面的上側, 是大于零的常數. (答案: ).[12]（山東科技大學2004年）設是拋物面介于平面及之間的部分的下側,求曲面積分.(答案: ).[13]（山東科技大學2005年）計算曲面積分，其中為球面的外表面. (答案: ).[14]（北京交通大學2004年）計算曲面積分，其中為橢球面,外法線是正向. (答案: ).[15]（華南理工大學2005年）求,其中為橢球面的上半部分,其方向為下側. (答案: ).[16]（中山大學2006年）求,其中是單葉雙曲面在的部分. (答案: ).37
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