型曲面積分ppt課件(參考版)
2025-01-17 13:20本頁面
【正文】 （ 1 ） dSnBbdSnAadSnBbAa ??? ?????? ?????????)( ),( 為常數(shù)ba ； （ 2 ） dSnAdSnAdSnA???????? ??????21 ??? ( 21 ??? 與可分為 ) ； 四、計(jì)算法 （第二類曲面積分 化為二重積分） 設(shè)積分曲面Σ 是由方程),( yxzz ?所 給出的 曲面上側(cè) , Σ在xoy面上的投影區(qū) 域?yàn)閤yD, 函數(shù) ),( yxzz ? 在xyD上 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 被積函數(shù) ),( zyxR 在Σ 上連續(xù) . ?),( yxfz ?xyDxyzoxyS)(?定理 : 設(shè)光滑曲面 取上側(cè) , 是 ? 上的連續(xù)函數(shù) , 則 ?? ? yxzyxR dd),( ) ,(??? yxD yxR),( yxz yxdd證 : 0lim?????ni 1yxiS )(?? yxi )( ???∵ ? 取上側(cè) , ),( iii z ??? ?0lim?????ni 1) ,( iiR ?? yxi )( ??yxx ,yzyxRyxDdd))(,(????? ? yxzyxR dd),( ? 若 則有 ?? ? zyzyxP dd),( ), ( zy,PzyD???? ),( zyx zyd? 若 則有 ?? ? xzzyxQ dd),( ) z, ,(???? xzD xQ),( xzy xdd(前正后負(fù) ) (右正左負(fù) ) 說明 : 如果積分曲面 ? 取下側(cè) , 則 ?? ? yxzyxR dd),( ) ,(???? yxD yxR),( yxz ydd注意 :對坐標(biāo)的曲面積分 ,必須注意曲面所取的側(cè) . 例 1 : 計(jì)算 ???x y zd x d y 其中 Σ 是球面 1222 ??? zyx 外側(cè) 在 0,0 ?? yx 的部分 . 解： 兩部分和分成把 21 ???。 一般封閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分 。 軸的正向成鈍與若法向量 zn? 角，則取定了曲面的下側(cè)。取定了法向量 指向的曲面，稱為 有向曲面 。 解法 3（ 湊微分法 ） ?積分因子 例 2 求方程 ydx?xdy?0的積分因子并求其通解 ? 因?yàn)? 解 因?yàn)? 2)( y xdyydxyxd ?? ? 若存在一函數(shù) ???(x? y) (?(x? y)?0)? 使方程 ?(x? y)P(x? y)dx??(x? y)Q(x? y)dy?0 是全微分方程 ? 則函數(shù) ?(x? y)叫做方程 P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0的積分因子 ? 所以 21y 是 所給 方程的積分因子 ? 因?yàn)? 2)( yx d yy d xyxd ?? ? 故所給方程的通解為 Cyx? ? 例 3 求方程 (1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0 的積分因子并求其通解 ? 解 0)()( 22 ??? ydyxdxyxxyd ? 積分得通解 將方程的各項(xiàng)重新合并 ? 得 (ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0? 再把它改寫成 用積分因子乘以方程 ? 方變?yōu)? 可 見 2)( 1xy 為 方 程 的 積分因子 ? 0)( )( 2 ??? ydyxdxxy xyd ? Cyxxy ln||ln1 ??? ? 即 xyCeyx1? ? ?一階線性方程的積分因子 可以驗(yàn)證 ?? dxxPex )()(?是一階線性方程 y??P(x)y?Q(x)的一個(gè)積分因子 ? 在一階線性方程的兩邊乘以 ?(x)得 兩邊積分 ? 便得通解 ?????? dxxPdxxPdxxP exQexyPey )()()( )()( ? 即 ???? dxxPdxxP exQye )()( )(][ ? CdxexQye dxxPdxxP ???? ? )()( )( ? 或 ])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? ? 例 4 用 積分 因 子 求 xxydxdy 42 ?? 的 通 解 ? 解 方程的積分因子為 22)( xx dx eex ???? ? 方 程 兩 邊 乘 以 2xe 得 222 42 xxx xeyxeey ??? ? 即 22 4)( xx xeye ?? ? 222 42 xxx xeyxeey ??? ? 即 22 4)( xx xeye ?? ? 于 是 Cedxxeye xxx ??? ? 222 24 ? 因此方程的通解為 22 24 xx Cedxxey ???? ? ? 于 是 Cedxxeye xxx ??? ? 222 24 ? 第三節(jié) 第二類曲面積分 向量值函數(shù) 在 定向曲面 上的積分 一、基本概念 二、概念的引入 三、定義及性質(zhì) 四、 兩類曲面積分之間的聯(lián)系 五、 計(jì)算法 一、基本概念 觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的 ) 曲面分 上 側(cè)和 下 側(cè) 曲面分 內(nèi) 側(cè)和 外 側(cè) 曲面分 左 側(cè)和 右 側(cè) n? : (1)雙側(cè)曲面 。 對
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