型曲面積分ppt課件(編輯修改稿)
2025-02-10 13:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 徑的最大值 0?? 時 , 三、第二類曲面積分的定義及性質(zhì) 存在????nixyiiii SR10))(,(l i m ????則稱此極限為 函數(shù) 在有向曲面 Σ上 對坐標(biāo) 的曲面積分 （也稱 第二類曲面積分） ),( zyxRyx,記作 ???dxdyzyxR ),( , 即 ????????nixyiiii SRd x d yzyxR10))(,(l i m),( ????被積函數(shù) 積分曲面 類似可定義 ????????niyziiii SPd y d zzyxP10))(,(lim),( ????????????nizxiiii SQd z d xzyxQ10))(,(lim),( ????ds??co s即是可正可負的注意定向投影面上的投影，在定向曲面微元xoyds存在條件 : 當(dāng) ),(),(),( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上連續(xù)時 , 對坐標(biāo)的曲面積分存在 .組合形式 : d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),(),(),( ?????物理意義 :表示流向 Σ 指定的流量 d xd yzyxRd z dxzyxQd y d zzyxP ),(),(),( ???? ???若記 ? 正側(cè)的單位法向量為 令 )c os,c os,c os( ????n)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS ??)),(,),(,),(( zyxRzyxQzyxPA ?則 對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式 ?? ? ?? yxRxzQzyP dddddd?? ? ?? SnA d?? ? ?? SA d三、第二型曲面積分的性質(zhì) 設(shè) ),( zyxAA ?? ? ， ),( zyxBB ?? ? ， （ 3 ） dSnAdSnA ?? ???? ????? ?? ( ?? ?與 是同一曲面的兩側(cè) ) 。 （ 1 ） dSnBbdSnAadSnBbAa ??? ?????? ?????????)( ),( 為常數(shù)ba ； （ 2 ） dSnAdSnAdSnA???????? ??????21 ??? ( 21 ??? 與可分為 ) ； 四、計算法 （第二類曲面積分 化為二重積分） 設(shè)積分曲面Σ 是由方程),( yxzz ?所 給出的 曲面上側(cè) , Σ在xoy面上的投影區(qū) 域為xyD, 函數(shù) ),( yxzz ? 在xyD上 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 被積函數(shù) ),( zyxR 在Σ 上連續(xù) . ?),( yxfz ?xyDxyzoxyS)(?定理 : 設(shè)光滑曲面 取上側(cè) , 是 ? 上的連續(xù)函數(shù) , 則 ?? ? yxzyxR dd),( ) ,(??? yxD yxR),( yxz yxdd證 : 0lim?????ni 1yxiS )(?? yxi )( ???∵ ? 取上側(cè) , ),( iii z ??? ?0lim?????ni 1) ,( iiR ?? yxi )( ??yxx ,yzyxRyxDdd))(,(????? ? yxzyxR dd),( ? 若 則有 ?? ? zyzyxP dd),( ), ( zy,PzyD???? ),( zyx zyd? 若 則有 ?? ? xzzyxQ dd),( ) z, ,(???? xzD xQ),( xzy xdd(前正后負 ) (右正左負 ) 說明 : 如果積分曲面 ? 取下側(cè) , 則 ?? ? yxzyxR dd),( ) ,(???? yxD yxR),( yxz ydd注意 :對坐標(biāo)的曲面積分 ,必須注意曲面所取的側(cè) . 例 1 : 計算 ???x y zd x d y 其中 Σ 是球面 1222 ??? zyx 外側(cè) 在 0,0 ?? yx 的部分 . 解： 兩部分和分成把 21 ???。1: 2211 yxz ?????,1: 2222 yxz ????xyz2??1? ?一投 ,二代 ,三定號 ???????????12x y z dx d yx y z dx d yx y z dx d y???? ???????xyxy DDd x d yyxxyd x d yyxxy )1(1 2222?? ???xyDdxdyyxxy 2212.1521c o ssi n2 22?? ???xyDrd rdrr ???一投 ,二代 ,三定號 xyz2??1? ?四、兩類曲面積分的聯(lián)系 ??ni 1? zyiiii SP ))(,( ???? xziiii SQ ))(,( ?? ????? ? ?? yxRxzQzyP ddddddyxiiii SR ))(,( ?? ??? ?0lim???0lim??? ??ni 1? ? SRQP dc o sc o sc o s?? ? ??? ???曲面的方向 用 法向量的方向余弦 刻畫 令 ?? ? ?? yxRxzQzyP dddddd? ? SRQP dc o sc o sc o s?? ? ??? ????? ?? SA n d向量形式 ),( RQPA ? )
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