高等數(shù)學(xué)第十章曲線(xiàn)積分(編輯修改稿)
2025-02-04 13:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 分曲線(xiàn) 為閉曲線(xiàn) , 由三段組成 L321 LLLL ???故應(yīng)根據(jù)每段曲線(xiàn)的特點(diǎn)，選擇不同的計(jì)算方法 . 在 與 1L3L 上可用框圖中線(xiàn)路 1的方法計(jì)算，在 上可用線(xiàn)路 3的方 2L法計(jì)算。 解：積分曲線(xiàn) 為閉曲線(xiàn)（如圖） L其中 )。0( ,0 :1 axyOAL ????)。40( , :2 ??? ???? aABL).20( , :3 axxyOBL ????故 ?????? ???322222122 LyxLyxLyx dsedsedseI??? ?????????? ? 2 0 224 0 22 0 2 )(1)()0(1 a xaa x dxxedaaedxe??? ???? ? 2 0 24 0 0 2a xaa x dxedaedxe.2)42( ??? ae a ?,321 LLLL ???可分解為 xy0 1L3L2L【 例 5】 設(shè) 為橢圓 其周長(zhǎng)記為 L ,13422?? yx ,a求 .)432( 22? ??L dsyxxy分析 由于積分曲線(xiàn) 可恒等變形為 134 :22?? yxL ,1243 : 22 ?? yxL而被積函數(shù) 中又含有 故可將 22 432 yxxy ?? ,4322 yx ? 1243 22 ?? yx代入，從而簡(jiǎn)化被積函數(shù)，然后再計(jì)算；對(duì)于積分 ,2?L xy ds.02 ??L xy ds由于 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng) , 函數(shù) 關(guān)于 為奇函數(shù) , 故有 y xy2 xL解：由奇偶對(duì)稱(chēng)性可知 所以 ,02 ??L x yd s? ??L dsyxxy )432( 22 ? ?? L dsxy )122(?? ?? LL dsx y d s 122aa 12120 ???注：由于被積函數(shù) 定義在曲線(xiàn) 上 , 故 滿(mǎn)足曲線(xiàn) ) ,( yxf L yx , L的方程。因此，計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分時(shí)應(yīng)首先需要利用曲線(xiàn) 方程化簡(jiǎn)被積函數(shù)，這是計(jì)算曲線(xiàn)積分的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn) . 分析 此題若用選取參數(shù)方程計(jì)算，將會(huì)很麻煩。注意到積分 曲線(xiàn)是 而由輪換對(duì)稱(chēng)性可知： 故 ,122 ?? yx ,22 ?? ?LL dsydsx由奇偶對(duì)稱(chēng)性知： 故本題有如下簡(jiǎn)單的解法。 .0)( ??? L dsyx? ?????? ????? L dsyxyx )()454( 22 ? ??? L dsyx )454(22?? ????? LL dsdsyxyx 2222 45)82(????? ? 245)8121(L ds ?????? 4152545【 例 6】 * 求 , 其中 ??????? ???? L dsyxI 22 )12()21( .1 :22 ?? yxL解 : ??????? ???? L dsyxI 22 )12()21(【 例 7】 設(shè)螺旋線(xiàn)彈簧一圈的方程為 ,c o s tax ? ,sin tay ? ,ktz?其中 它的線(xiàn)密度 求此線(xiàn)關(guān)于 ,20 ??? t .) , ,( 222 zyxzyx ???? z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .zI分析 本題為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分在物理中的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)先 將所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分 ? ??Lz dszyxyxI 22 ) , ,()( ?表示，然后計(jì)算積分即可。 解：所求的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 而 ,) , ,()( 22? ??Lz dszyxyxI ?dttztytxds )()()( 222 ?????? dtka 22 ??故 ???Lz dszyxyxI 22 ) , ,()( ? ? ????Ldszyxyx 22222 ))((? ? ??? 2 0 222222 )( dtkatkaa )43(32 222222 kakaa ?????六、對(duì)坐標(biāo)對(duì)曲線(xiàn)積分典型例題 【 例 1】 計(jì)算曲線(xiàn)積分 其中 為曲線(xiàn) ,)()( 2222? ????L dyyxdxyxIL|1|1 xy ??? )20( ?? x 沿 增大的方向 . x分析 由于 故曲線(xiàn)積分與路徑有關(guān) . 又因?yàn)榍€(xiàn) ,xQyP ????? L不是封閉的，按解題方法流程圖，計(jì)算本題有兩種方法：一是將第二型曲線(xiàn)積分直接轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算；二是采用補(bǔ)特殊路徑，然后應(yīng)用 Green公式計(jì)算。本題采用第一種方法計(jì)算比較簡(jiǎn)便，這里應(yīng)首先將積分曲線(xiàn) 的方程改寫(xiě)為 L,21 ,2 10 ,??? ??? ??? xx xxy再代入被積函數(shù)中計(jì)算。 解：由于 所以 ,21 ,210 ,?????????xxxxy? ???? L dyyxdxyxI 2222 )()(? ? ? ???? ???????? 2 1 222 1 221 0 2 )()2()2(2 dxxxdxxxdxx? ??? 2 1 2)2(232 dxx .34)2(3232 213 ???? x分析 本題為沿空間曲線(xiàn)的積分，從所給曲線(xiàn)來(lái)看，可采用參數(shù)法轉(zhuǎn)化為定積分來(lái)計(jì)算，這里關(guān)鍵是要正確寫(xiě)出積分曲線(xiàn)的參數(shù)方程?？紤]到本題為沿空間平面閉曲線(xiàn)的積分，故又可利用斯托克斯（ Stokes）公式將曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)化為曲面積分計(jì)算。 【 例 2】 計(jì)算曲線(xiàn)積分 , 其中 為有向閉折線(xiàn) ?? ??? y d zdydxI?, 這里的 依次為點(diǎn) 、 、 ABCA )0 ,0 ,1(A )0 ,1 ,0(B ).1 ,0 ,0(CCBA ,解法 1：化為定積分計(jì)算 . 由于 CABCABL ??? (如圖 )，這里 。0 ,1 , : ???? zxyxxAB。 ,1 ,0 : zzzyxBC ????。1 ,0 , : xzyxxCA ????所以 ? ??AB y dzdydx 。2])1(1[0 1 ?????? ? dxx從 變到 。 10z從 變到 。 1 0x從 變到
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