【文章內(nèi)容簡介】 22204 ( ) ( ) ds x t y t t?????因 此? ? ? ?π 2222204 3 c o s sin 3 sin c o s da t t a t t t? ? ??π201 2 sin c o s da t t t? ?π220s i n122ta?? .6a?例 1 33c o s , s in , [ 0 , 2 π ]x a t y a t t? ? ?求 星 形 線.的 周 長xyO a 200e e e e1 d d .22x x a aaas y x x?????? ? ? ???因 此ee [ 0 , ] .2xxya???求 懸 鏈 線 在 上 的 一 段 弧 長例 2 解 ee ,2xxy??? ?22 ( e e )1.4xxy?????例 3 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應(yīng)于 ?從 0 到 ?2 的弧長 . 解 ????? drrs ? ??? )()( 22? ?.)412l n(4122 22 ????????? a? ?? 20a ?? d12 ?解 12 ,yx? ?所求弧長為 dxxs ba? ?? 1].)1()1[(32 2323 ab ????a b例 4 計算曲線 2332xy ? 上相應(yīng)于 x 從 a 到 b 的一段弧的長度 . 例 5 求極坐標(biāo)系下曲線33si n ??????? ?ar的長 ， 0 , 0 3 .a ??? ? ?解 ????? drrs ? ???? )()( 22313c o s3si n32?????????? ??ar? ,3c o s3s i n 2 ?? ???????? a.23 a?????? daa242623c o s3s i n3s i n ???????????????????? ?? 30?? d23s in ??????? ?? 30a1??s?對于不同的曲線 , 其彎曲程度一般不同 . 例如： A B B?A?12..A B A B s????? ?????s?A39。 B39。 2??B??39。A?*二、平面曲線的曲率 A A39。 B B39。 o s?s??.ss??????相同???? 曲線的彎曲程度與其 切線方向變化的夾角 的大小及其弧長 有關(guān) . ??s?結(jié)論： y x o A 將 sK ??? ???B ?? ???s?任意弧段 AB = = R ， 有 s? ???? ???1 .Ks R R?????? ? ???稱為曲線段 AB 的 平均曲率 ，它刻畫了一段曲線的平均彎曲程度 . ????O A B R 對于 半徑為 R的圓 ， ,0???? sK ?對于直線 , 其切線方向不變 , 即 , 有 0???同一條曲線的不同點處 , 曲線彎曲的程度可能不同 . Def : 曲線在 A 點的 曲率 為 0l im .sdKd s s????????其中 為點 A及其鄰點 B之間弧長 , 為 AB上切線 方向變化的角度 . 曲率刻畫了曲線在一點的彎曲程度 . s? ??.故 “ 直線不曲”曲率半徑與曲率圓 對半徑為 R 的圓 , .1,1 KRRK ??Def : 曲線上一點的曲率的倒數(shù)稱為曲線在該點的 曲率半徑，記作 1 .K? ?幾何意義： 如圖，在 A點作曲線的法線，并在曲線凹的一側(cè)的法線上取 一點 O，使得 OA= (曲線在 A點的曲率半徑 ). 以 O為圓心， 為半徑作一個圓，稱之為曲線在 A點的曲率圓 . ? ? ?A A?o 曲率中心 曲率圓與曲線在 A點具有以下關(guān)系 : ⑴ 有共同的切線，即圓與曲線在點 A 相切； ⑵ 有相同的曲率； ⑶ 圓和曲線在點 A 具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù) . 表明： 討論 y = f (x) 在某點 x 的性質(zhì)時，若此性質(zhì)僅 與 x , y , 有關(guān)，則只要討論曲線在 x 點的曲率圓 的性質(zhì)，即可知這曲線在 x 點附近的性質(zhì) . yy ???,2 2 3 2 .()x y x yKxy? ?? ?? ??????若曲線由 表示 ,則 ()y f x?2 3 2 .( 1 )yKy?????例 6 求橢圓 上曲率 c o s , s in , 0 2 πx a t y b t t? ? ? ?解 由于 最大和最小的點 . ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?s in , ( ) c o s , c o s , s in ,x a t x t a t y b t y b t曲率計算公式 因此橢圓在各點的曲率為 322 2 2 2 3 2 2 2 2 2 .( sin c os ) ( ) sinab abKa t b t a b t b??? ??????ma x min,.22abKKba??當(dāng) 時 , 在 處曲率最大 ,在 0ab?? 0, πt ? π,2t ?由例 1可得 ,若 則各點處曲率相等 , 為 ,a b R?? 3π2 處曲率最小 , 火車軌道從直道進(jìn)入半徑為 R 的 2va ?? 不 發(fā) 生 跳 躍 式 的式 的 突 變 ).(使火車的向心加速度 以保證火車行駛安全 1,R道 (用虛線表示 ), 使得曲率由零連續(xù)地變到 圓形彎道時 ,為了行車安全 ,必須經(jīng)過一段緩沖軌 例 7 如圖所示 , O xyQRB00( , )A x y0( ,0)Cxl3,6 xy Rl?l OA其 中 是 的 弧 長 .對此曲線 用曲率公式求得 : OA圓 弧 軌 道 , 為 緩 沖 軌 道 .緩沖曲線常采用三次 ( 0 )x x A B R?圖 中 軸 表 示 直 線 軌 道 , 是 半 徑 為 的? ?22322 2 48 .4R l xKR l x??曲線 的曲 率從 0 漸漸增加到接近于 從而起到緩沖 1,R0001xx l KRR??當(dāng) , 且 很 小 時 ,.因此曲線段 OA000x x K當(dāng) 從 變 為 時 , 曲 率 從 連 續(xù) 地 變 為? ?2 2 2000 432 322 2 42 00288 1.4 4R l x l xKR xR l xlR? ? ?????????作用 . 例 8 求拋物線 上任一點處的曲率和曲率半徑 . 2xy ?解 .2,2 ????? yxym a x m i n1( 0 , 0 ) , 2 , .2K ???在點( | | ) ,x自原點逐漸上升 增大,)41( 2 2/32xK ??2xy ?隨著曲線.2 )41(12/32xK????.逐漸增大逐漸減小， ?Kx y O 1O2O2yx?A 例 9 xyoQP■ .,.70,/400,)(4 0 0 02壓力飛行員對座椅的到原點時求俯沖千克飛行員體重秒米處速度為點在原俯沖飛行單位為米飛機(jī)沿拋物線??vOxy解 如圖 ,受力分析 ,PQF ??視飛行員在點 o作勻速圓周運動 , .2?mvF ??O點處拋物線軌道的曲率半徑 00 2020 ?? ?? xxxy ,0? .202010 ??? ?xy得曲率為 .202010 ?? xxk 曲率半徑為 .2020 米??2 0 0 04 0 070 2??? F560 0( ) 571 .4( ) ,?? 牛 千 克 力),()(70 千克力千克力 ??? Q).( 千克力?即 :飛行員對座椅的壓力為 . 作業(yè) 習(xí)題 1 167。 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 定積分的所有應(yīng)用問題 ,都可按 “ 分 導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面面積的計算公式 . “微元法 ” 來處理 .本節(jié)將介紹微元法 , 量的積分形式 ,但在實際應(yīng)用中又常用 割 ,近似代替 ,求和 ,取極限 ” 導(dǎo)出所求 ( ) ( ) d ,xax f t t? ? ?則 ( ) ( ) , d ( ) dx f x f x x??? ?? 或, 且 ( ) 0 , ( ) ( ) d .baa b f x x???? ?當(dāng) ],[ baf 為 上的連續(xù)函數(shù)時，令 一、微元法 現(xiàn)在恰好要把問題倒過來 : 若所求量 是分布在區(qū) ?[ , ] ( ) ,a x a x b間 上 的 ?? 或者說它是該區(qū)間的端點 x 的函數(shù) , 即 Δ () Δ ,f x x? ?其中 f 為某一連續(xù)函數(shù) , 而且當(dāng) 時 , 0??xΔ () Δ ( Δ ) , ( ) ,f x x o x d f x dx??? ? ?而且當(dāng) x = b 時 , )(b? 適為最終所求的值 . 那么只要把 ( )dba f x x? 計算出來 , 就是該問題所 ],[),( baxx ?? ??在任意小區(qū)間 上 , 若能把 的 [, Δ ] [ , ]x x x a b?? ?微小增量 近似表示為 的線性形式 Δ? ΔxΔ () Δ .f x x? ?在一般情況下 , 要嚴(yán)格檢驗 Δ () Δf x x? ?以上方法通常稱為 微元法 , 在用微元法時 , 應(yīng)注意 : 求的結(jié)果 . (2) 微元法的關(guān)鍵是正確給出 的近似表達(dá)式 Δ?為 的高階無窮小量不是一件容易的事 . x?(1) 所求量 關(guān)于分布區(qū)間必須是可加的 . ?),0)((],[,)( ??? xfbaxxfy這段曲線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面 (如下圖 ). 設(shè)平面光滑曲線 C 的方程為 二、旋轉(zhuǎn)曲面的面積 O a b xyx xx??()y f x?通過 x 軸上點 x 與 分別作垂直于 x 軸的平 Δxx?22Δ π [ ( ) ( Δ )] Δ ΔS f x f x x x y? ? ? ?2[ 2 ( ) ] 1 ( ) ,yf x y xx?? ? ??? ? ?其中 Δ ( Δ ) ( ) .y f x x f x? ? ?由于 2200l i m 0, l i m 1 ( ) 1 ( ) ,xxyy f xx? ? ? ?? ?? ? ? ? ??時 , 此狹帶的面積近似于一圓臺的側(cè)面積 , 即 面 , 它們在旋轉(zhuǎn)曲面上截下一條狹帶 . 當(dāng) 很小 Δx因此由 的連續(xù)性可以保證 )(xf?? ?22Δπ 2 ( ) Δ 1 Δ 2 π ( ) 1 ( ) ΔΔyf x y x f x f x xx?? ?? ? ? ?????(Δ ),ox?所以得到 2d2