二階非齊次線性微分方程的解法-文庫(kù)吧
2025-06-03 06:16 本頁(yè)面
【正文】 程，則原方程變?yōu)榉匠坛Ｏ禂?shù)二階線性微分方程，由 上可求得方程的通解。再變換，代回原來(lái)的變量，就得到原方程的通解。例 求方程的通解解 此方程為歐拉方程，令，則由知，原方程化為 其特征方程為特征根為，故方程的通解為換回原自變量，則原方程的通解為2. 在未知函數(shù)的線性齊次變換下，可化為常系數(shù)的方程現(xiàn)在考慮二階變異系數(shù)線性方程 的系數(shù)函數(shù)滿足什么條件時(shí)，可經(jīng)適當(dāng)?shù)木€性齊次變換化為常系數(shù)方程。這里是待定函數(shù)。為此，把代入方程，可得到欲使為常系數(shù)線性齊次方程，必須選取使得及的系數(shù)均為常數(shù)。特別地，令的系數(shù)為零，即可求得再代入，整理之，得到 由此可見，方程可經(jīng)線性齊次變換化為關(guān)于的不含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的線性齊次方程，且當(dāng)?shù)南禂?shù)為常數(shù)時(shí)，方程為常系數(shù)方程。因方程在形如的變換下，函數(shù)的值不會(huì)改變，故稱為方程的不變式。因此，當(dāng)不變式為常數(shù)時(shí)，方程可經(jīng)變換化為常系數(shù)線性齊次方程。例求方程的通解解 這里，因故令就可把原方程化為常系數(shù)方程可求得其通解為代回原變量，則得原來(lái)方程的通解為（二）降階的方法 處理一般高階微分方程的基本原則是降階，即利用適當(dāng)?shù)淖儞Q把高階方程的求解問題轉(zhuǎn)化為較低階方程的求解問題。具體參考常微分方程的思想與方法，這里只討論二階的。已知的一個(gè)特解，試求該方程的通解解 作變換，則原方程可化為一階線性微分方程求解，得所以原方程的通解為法二 設(shè)是方程的任一解，則有劉維爾公式得其中常數(shù)，亦即以積分因子乘上式兩端，就可推出積分上式可得到
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