行列式定義性質(zhì)與計(jì)算-文庫(kù)吧資料
2025-05-08 03:11本頁(yè)面
【正文】 奇數(shù)的排列 ， 稱為奇排列 . 逆序數(shù)是偶數(shù)或 0的排列 ， 稱為偶排列 . 如 3421是奇排列， 1234是偶排列 ， 因?yàn)?τ(3421)=5. 因?yàn)?τ(1234)=0. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 對(duì)換 把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動(dòng)，叫做對(duì)該排列作一次對(duì)換，簡(jiǎn)稱 對(duì)換 .記為（ i， j） 將相鄰的兩個(gè)數(shù)對(duì)換，稱為 鄰換 . ml bbbaaa ?? 11例如 ml bbbaaa ?? 11nml ccbbbaaa ??? 111 nml ccabbbaa ??? 111鄰換 baa b（ a， b） （ a， b） 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 定理 一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性 推論 2?n 時(shí)， n個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半， 各為 2!n個(gè) . (一次對(duì)換改變排列的奇偶性 ). ml bbbaaa ?? 11ml bbbaaa ?? 11 ab（ a,b） nml ccabbbaa ??? 111 nml ccbbbaaa ??? 111 b a（ a,b） 鄰換 對(duì)換 證明思路： 由特殊推一般 nml ccbbbaaa ??? 111… … 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 定義 3 符號(hào) nnnnnnaaaaaaaaa?????????????????????212222111211稱為 n階行列式 ， 元素 ai j 列標(biāo) 行標(biāo) n 階行列式 n 階行列式定義 副對(duì)角線 主對(duì)角線 行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相同 . 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 nnnnnnaaaaaaaaa?????????????????????212222111211 n 階行列式 n 階行列式定義 11 1221 22aaaa21122211 aaaa =D = D1 = 1 1 22 2 2baba212122 baba =333231232221131211aaaaaaaaaD =322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa??== 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 a11 a21 … an1 a12 a22 … an2 a1n a2n … ann … … … … 1) n 階行列式共有 n!項(xiàng)，正負(fù)項(xiàng)各占一半 . n 個(gè)元素的乘積 . (2) 在行列式中 ,項(xiàng) nnjjj aaa ???21 21是取自不同行不同列的 行列式有時(shí)簡(jiǎn)記為 | a ij |.一階行列式 |a|就是 a. = 說(shuō)明： nn jnjjjjj aaa . . .)1(2121 21). . .(? ?其中排列 j1 j2 ? ? ? jn要取遍所有 n級(jí)排列 . 之前的符號(hào)是 (3) 項(xiàng) nnjjj aaa ???21 21 )( 21)1( njjj ??行標(biāo)是自然排列 總結(jié)： n 階行列式是所有不同行不同列元素乘積的代數(shù)和 . 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 在乘積 a14a23a31a44 14 44 a14a23a31a42 14 23 31 42例如，四階行列式 a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44 (1)τ(4312) a14a23a31a42為 行列式中的一項(xiàng) . 表示的代數(shù)和中有 4!=24項(xiàng) . a14a23a31a42取自不同行不同列 , 的列標(biāo)排列為 4312 所以它不是行列式中的一項(xiàng) . 中有兩個(gè)取自第四列的元素， (為奇排列 )， 山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 11 1221 22aaaa2112)21(2211)12( )1()1( aaaa ?? ?=D = 行列式計(jì)算 解： 根據(jù)行列式定義 21122211 aaaa =2112122110 )1()1( aaaa ?=例 1． 計(jì)算 2 階行列式 D = 11 1221 22aaaa山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息學(xué)院 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 例 2． 計(jì)算 n 階下三角形行列式 D的值 其中 aii?0(i=1, 2, ? ? ? , n). D = a11 a21 a31 … an1 0 a22 a32 … an2 0 0 a33 … an3 0 0 0 … ann … … … … … 解： 為使取自不同行不同列的元素的乘積不為零， D = (1)τ(1 2 ? ? ? n)a11a22a33? ? ? ann 第一行只能取 a11， 第三行只能取 a33， 第二行只能取 a22， 第 n 行只能取 ann. ? ? ? ? ? ?， 這樣 不為零 的 乘積 項(xiàng)只有 a11a22a33? ? ? ann， 所以 = a11a22a33?
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