【正文】 ???????????????????? 同理 11 )()( ?? ???? nnn yaxDxaD 聯(lián)立解得 )(,)(( yxyx xayyaxDnnn ?? ???? ） 當(dāng) yx? 時(shí) , ? ?1 2 1122 1 12( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 1 )nnn n nn n nD a x D x a x a x D x a xa x D n x a x a x a n x????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列式的計(jì)算方法研究 9 “一路直推” 例 1: 計(jì)算 n 階行列式1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1nn n nxxxDxa a a a a x???????． 解 首先建立遞推關(guān)系式．按第一列展開，得： ? ? ? ? ? ?1 1 1111 2 3 2 11 0 0 01 0 0 0 00 1 0 01 0 0 00 0 0 01 1 1 0 1 0 00 0 0 10 0 0 1n n nn n n n n nn n nxxxxD x a x D a x D axxxa a a a a x? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????， 這里 1nD? 與 nD 有相同的結(jié)構(gòu)，但階數(shù)是 1n? 的行列式． 現(xiàn)在，利用遞推關(guān)系式計(jì)算結(jié)果．對(duì)此，只需反復(fù)進(jìn)行代換，得： ? ? ? ?2 2 1 2 22 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 nnn n n n n n n n n n n n n nD x x D a a x D a x a x x D a a x a x D a x a x a x a??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，因 111D x a x a? ? ? ?，故 111nnn n nD x a x a x a? ?? ? ? ? ?． 最后，用數(shù)學(xué)歸納法證明這樣得到的結(jié)果是正確的． 當(dāng) 1n? 時(shí)，顯然成立．設(shè)對(duì) 1n? 階的情形結(jié)果正確，往證對(duì) n階的情形也正確．由 ? ?1 2 11 1 2 1 1 1 n n n nn n n n n n n nD x D a x x a x a x a a x a x a x a? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，可知，對(duì) n階的行列式結(jié)果也成立．根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立． 對(duì)角直遞 例 1： 證明 n階行列式2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 010 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2nDn? ? ?． 行列式的計(jì)算方法研究 10 證明 : 按第一列展開，得 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD ??． 其中，等號(hào)右邊的第一個(gè)行列式是與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 1n? 的行列式，記作 1nD? ；第二個(gè)行列式，若將它按第一列展開就得到一個(gè)也與 nD 有相同結(jié)構(gòu)但階數(shù)為 2n? 的行列式，記作 2nD? ． 這樣，就有遞推關(guān)系式： 122n n nD D D????． 因?yàn)橐褜⒃辛惺降慕Y(jié)果給出，我們可根據(jù)得到的遞推關(guān)系式來證明這個(gè)結(jié)果是正確的． 當(dāng) 1n? 時(shí)， 1 2D? ，結(jié)論正確．當(dāng) 2n? 時(shí)，2 21 312D ??，結(jié)論正確． 設(shè)對(duì) 1kn?≤ 的情形結(jié)論正確，往證 kn? 時(shí)結(jié)論也正確． 由 ? ?122 2 1 1n n nD D D n n n??? ? ? ? ? ? ? 可知，對(duì) n階行列式結(jié)果也成立． 根據(jù)歸納法原理，對(duì)任意的正整數(shù) n，結(jié)論成立． 分析 :此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線 的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式 [1]。 等差數(shù)列遞推 例 1: 計(jì)算行列式??????????????????????10000000010001000??????????nD. 解：將行列式按第 n 列展開 ,有 21)( ?? ??? nnn DDD ???? , 1 1 2 1 1 2( ) , ( ) ,n n n n n n n nD D D D D D D D? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 得 nnnnnn DDDDDD ?????? ??????? ???? )()( 1223221 ?。 有時(shí)也可以找到 nD 與 1?nD , nD 的遞推關(guān)系，最后利用 1D ... 2D 得到 nD 的值。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。 直接化為階梯形 例 1 計(jì)算行列式1 1 2 3 13 3 7 9 52 0 4 2 13 5 7 14 64 4 10 10 2D??? ? ?? ?????． 解： 這是一個(gè)階數(shù)不高的數(shù)值行列式，通常將它化為上（下）三角行列式來計(jì)算． 行列式的計(jì)算方法研究 4 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 13 2 14 3 15 4 1 2 3 4 21 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 1 2 3 10 0 1 0 2 0 2 0 4 1 0 2 0 4 1 0 2 0 4 1 0 0 1 0 2 0 0 1 0 20 2 1 5 3 0 2 1 5 3 0 0 1 1 20 0 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 2 2D???? ??? ? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?435 2 3 5 2 41 1 2 3 1 1 1 2 3 10 3 0 4 1 0 2 0 4 1 1 2 1 1 6 1 2 .0 0 1 0 2 0 0 1 0 20 0 0 1 0 0 0 0 1 00 0 0 2 6 0 0 0 0 6?? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? 相同去項(xiàng)化上三角形 例題 2：計(jì)算 n階行列式1 2 31 2 31 2 31 2 31111nnnna a a aa a a aD a a a aa a a a?????． 解：這個(gè)行列式每一列的元素，除了主對(duì)角線上的外，都是相同的，且各列的結(jié)構(gòu)相似，因此 n列之和全同．將第 2， 3，?， n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是 1． ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?1 2 2 3 2 31 2 2 3 2 31 2 2 3 2 311 2 2 3 2 3211 12 , ,2 , ,111 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1n n nn n nnn n i nin n nniiiiinina a a a a a a a aa a a a a a a a aD a a a a a a a a a aa a a a a a a a aaaa??????? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??????????3110 1 0 01 1 1 .0 0 1 00 0 0 1nnniiiiaaa?