多元函數(shù)的極值和求法-文庫吧資料
2025-05-22 03:54本頁面
【正文】 類似地有三元及三元以上函數(shù)的極值概念，對三元函數(shù)也有取得極值的必要條件為 ，說明 上面的定理雖然沒有完全解決求極值的問題，但它明確指出找極值點的途徑，即只要解方程組 ，求得解，那么極值點必包含在其中，這些點稱為函數(shù)的駐點．注意1．駐點不一定是極值點，如在點．怎樣判別駐點是否是極值點呢？下面定理回答了這個問題．定理2（充分條件） 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，令 ，則（1）當(dāng)時，函數(shù)在點取得極值，且當(dāng)時，有極大值，當(dāng)時，有極小值；（2）當(dāng)時，函數(shù)在點沒有極值；（3）當(dāng)時，函數(shù)在點可能有極值，也可能沒有極值，還要另作討論．求函數(shù)極值的步驟：（1）解方程組，求得一切實數(shù)解，即可求得一切駐點；（2）對于每一個駐點，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值；（3）確定的符號，按定理2的結(jié)論判定是否是極值，是極大值還是極小值；（4）考察函數(shù)是否有導(dǎo)數(shù)不存在的點，若有加以判別是否為極值點．例3．考察是否有極值．解 因為，在處導(dǎo)數(shù)不存在，但是對所有的，均有，所以函數(shù)在點取得極大值．注意2．極值點也不一定是駐點，若對可導(dǎo)函數(shù)而言，怎樣？ 例4．求函數(shù)的極值．解 先解方程組，求得駐點為，再求出二階偏導(dǎo)函數(shù)，．在點處，又，所以函數(shù)在點處有極小值為；在點處，所以不是極值；在點處，所以不是極值；在點處，又，所以函數(shù)在點處有極大值為．二．函數(shù)的最大值與最小值求最值方法：⑴ 將函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的全部極值點求出；⑵ 求出在邊界上的最值；即分別求一元函數(shù)，的最值；⑶ 將這些點的函數(shù)值求出，并且互相比較，定出函數(shù)的最值．
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1