【正文】 ...... 20 參考文獻 ............................................................................................................................................................................. 21 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 4 1 引言 函數是中學數學的主體內容，貫穿于整個中學階段，而函數最值問題是函數的重要組成部分．處理函數最值的過程就是實現未知向已知、新問題向舊問題以及復雜問題向簡單問題的轉化，雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其思維方式來講，通常是將待解決的問題通過一次又一次的轉化，直至劃歸為一類很容易解決或已解決的問題， 從而獲得原問題的解答． 函數最值問題是一類特殊的數學問題，它在生產、科學研究和日常生活中有著廣泛的應用，而且在中學數學教學中也占據著比較重要的位置，是近幾年數學競賽中的常見題型也是歷年高考重點考查的知識點之一．由于其綜合性強，解法靈活，故而解決這類問題，要掌握各數學分支知識，并能綜合運用各種所學知識技巧，靈活選擇合適的解題方法．函數最值的定義： 一般地，函數的最值分為最小值和最大值 :設函數 ? ?y f x? 在 0x 處的函數值 是? ?0fx 如果對于定義域內任意 x ，不等式 ? ? ? ?0f x f x? 都成立，那么 ? ?0fx 叫做函數? ?y f x? 的最小值，記作 ? ?min 0y f x? ； 如果對于定義域內任意 x ，不等式 ? ? ? ?0f x f x? 都成立，那么 ? ?0fx 叫做函數? ?y f x? 的最大值，記作 ? ?max 0y f x? . 函數的最值一般有兩種特殊情況： （ 1）如果函數 0()fx 在 [, ]ab 上單調增加 (減少 )， 則 ()fa是 ()fx在 [, ]ab 上的最小值 (最大值 )， ()fb是 ()fx在 [, ]ab 上的最大值 (最小值 ). （ 2）如果連續(xù)函數 0()fx 在區(qū)間 (, )ab 內有且僅有一個極大 (小 )值，而沒有極小 (大 )值，則此極大 (小 )值就是函數在區(qū)間 [, ]ab 上的最大 (小 )值 . 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 5 2 求函數最值的幾種解法探討 判別式法 對于某些特殊形式的函數的最值問題，經過適當變形后，使函數 ()fx出現在一個有實根的一元二次方程的系數中，然后利用一元二次方程有實根的充要條件 0?? 來求出 ()fx的最值 . 例 . 求函數 2 ( 0)y ax bx c a? ? ? ?的最值 . 解： 因為 )0(2 ???? acbxaxy ，所以 2 ( ) 0ax bx c y+ + =， 而 Rx? ， 所以有 0440)(4 22 ????????? ayacbycab 244 bacay ??? ?????????????????????abacyaabacya4404402m a x2m in時，時， 所以，當 0a 時 ， a bacy 44 2m in ??； 當 0a 時 ， a bacy 44 2m ax ??. 應注意：用判別式法求函數的最值時， 0?? 是表示 0?? 或 0?? ， 并非要此二者同時成立 .因此，在利用 0?? 求出的 y 的取值范圍： bya ?? 或 by? 且 )( baay ??中，不能隨意斷定 byay ?? m a xm in , 或 ayby ?? m a xm in , ，還必須求出與 a 、 b 對應的 x 的高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 6 值，并將其代入原來的函數中進行驗算，只有當 x 、 y 的對應值存在 ,并滿足 0?? 所求得的不等式時，才能確定為原來函數的最值 . 配方法 如果給定函數是二次函數或變形后可轉化為二次函數的問題，一般可用此法求解 . 例 . 求 xxxf 432)( 2 ??? ? 在區(qū)間 [ 1,0]? 內的最值 . 解： 配方得 34)322(3432)( 22 ??????? ? xxxxf , 因為 [ 1,0]x?? ,所以 1 212 x??，從而當 22 3x? 即2 2log 3x?， ()fx取得最大值 43 ；當 21x? 即 0x? 時 ()fx取得最小值 1. 均值不等式法 設 12 na a a， ， … ， 是 n個正數，則有 nnn aaan aaa ?? 2121 ????，其中等號成立的條件是 12= = = na a a… . 運用均值不等式求最值，必須具備三個必要條件，即一正二定三等，缺一不可 .“正”是指各項均為正數，這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件 . 例 . 設 ????0 ，求 )2cos1(2sin ?? ? 的最大值 . 解： 由 ????0 ，有 02sin ?? . 又因為 )2cos1(2sin ?? ? = 2cos2sin2 2 ?? 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 7 =2c os2c os2s in2 222 ??? 43= 9 其中當 2c os2sin2 22 ?? ? 時，上式等號成立，即 2cot2arc?? 時成立，故)cos1(2sin ?? ? 的最大值為 439 . 換元法 用換元法求函數最值，就是根據函數表達式的特點，把某一部分看做一個整體或用一個新變元來代替，達到化繁難為簡易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解 . 例 . 求函數 2= 2+ 4y x x的最值 . 解： 因為 2204 2 ?????? xx ，即給定函數的定義域為： [2,2] . 于 是令 ?sin2?x ， ???????? 2,2 ???. 則給定函數可變形為 : 2)s in2(42s in2 ?? ????y = 2c os2sin2 ?? ?? =2[ )2sin(sin ??? ?? ]2 = 2)4c o s (4s in22 ???? ??? = 2)4c o s (22 ???? 2)]4(2s in [22 ???? ??? 高等教育自學考試本科生畢業(yè)論文 8 2)4s in (22 ??? ?? 而 . ]2,4[434422 ????????? ??????????. 又因 )4sin( ???在 ]2,4[ ???是增函數，所以其最值在端點處取得 . 三角函數法 如果給定函數，經變形后能化成： BxAy ??? )s in( ?或 BxAy ??? )c os ( ?（ A 、B 是常數）的形式，則由 1)sin( ???x 或