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正文內(nèi)容

畢業(yè)論文--探討導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用-文庫(kù)吧資料

2025-06-11 20:26本頁(yè)面
  

【正文】 aaxfaxf xx 則 ; 6.若 xx exfexf ??? )(,)( 則 ; 7. 若 axxfxf xa ln1)(,log)( ??? 則 ( 0?a 且 1?a ); 8.若 xxfxxf 1)(,ln)( ??? 則 . 學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)之后,如何將導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法滲透到學(xué)生的解題過(guò)程中去,并使他們改變一貫利用函數(shù)的定義解題的思維,是數(shù)學(xué)老師的主要任務(wù). 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)新課程的重要目的 ,是發(fā)展學(xué)生智力的關(guān)鍵所在,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ),也是一個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分.新課改后,導(dǎo)數(shù)作為高考的熱點(diǎn)考察 內(nèi) 容之一 ,要求學(xué)生不僅掌握導(dǎo)數(shù)的概念, 導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí),還要學(xué)會(huì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值,曲線(xiàn)的切線(xiàn)等問(wèn)題的應(yīng)用 .下一章節(jié)的內(nèi)容本論文將詳細(xì)的探討導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性以及極值中的應(yīng)用 .主要用大量的實(shí)例通過(guò)定義法和導(dǎo)數(shù)法的對(duì)比,凸顯出導(dǎo)數(shù)法在求解相關(guān)問(wèn)題中的優(yōu)越性 . 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 13 4 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性以及極值中的應(yīng)用 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 例 5 觀察下面?zhèn)€函數(shù)的圖像,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 x 圖 xy? ( Rx? ) ,通過(guò)觀察其圖像發(fā)現(xiàn)在定義域 R 上是單調(diào)遞增的,其導(dǎo)數(shù) 01???y . 圖 )(2 Rxxy ?? ,通過(guò)觀察圖像發(fā)現(xiàn)其函數(shù)在定義域 R 上不是純單調(diào)函數(shù),當(dāng) x ? 0時(shí),函數(shù) 2xy? 是單調(diào)遞減的,此時(shí)導(dǎo)數(shù) xy 2?? ? 0;當(dāng) x ? 0時(shí),函數(shù) 2xy? 是單調(diào)遞增的,此時(shí)導(dǎo)數(shù) 02 ??? xy . 圖 函數(shù) )0(1 ?? xxy ,過(guò)觀察其函數(shù)圖像,發(fā)現(xiàn)函數(shù)在定義域?? ?? ????? ,00, 上均是單調(diào)遞減的,且當(dāng) x ? 0 時(shí), )1( ??? xy ? 0)1( 2 ?? x ;當(dāng) x ? 0時(shí), 01)1(2 ?????? xxy 通過(guò)上面的觀察與探討發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有如下關(guān)系: 在某個(gè)確定的區(qū)間 ? ?ba, 內(nèi) 如果 0)( ?? xf 那么函數(shù) )(xf 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 如果 y=x y O x xx xx 2xy? O y x xy 1? y O x 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 14 0)( ?? xf 那么函數(shù) )(xf 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 如此得到如下的定理: 若 )(xf 在 ?? ba, 上連續(xù),在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo),則 )(xf 在 ?? ba, 單調(diào)遞增(減)的充要條件為:在 ? ?ba, 內(nèi) 0)( ?? xf ( 0)( ?? xf ). 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷,求證函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷,求證函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性,是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在 研究曲線(xiàn)變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)重要應(yīng)用,它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,也充分表明了導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的一個(gè)必不可缺的,重要的工具 [5] . 例 6 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間. (1) 32)( 2 ??? xxxf ; (2) ),0(,s in)( ???? xxxxf . 解析 (1)、 (2)兩道題目我們可以應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性的定義來(lái)求解,也可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)求解.在這里我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解.首先求解)(xf? ,然后由 )(xf? 的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定單調(diào)區(qū)間. 解 (1) 因?yàn)? 32)( 2 ??? xxxf 所以 )1(222)( ????? xxxf 當(dāng) )(xf? ? 0時(shí) 有 )1(2 ?x ? 0 得 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 15 x ? 1 即 x ? 1時(shí) , 函數(shù) 32)( 2 ??? xxxf 單調(diào)遞增; 當(dāng) )(xf? ? 0時(shí) 有 )1(2 ?x ? 0 得 x ? 1 即 x ? 1時(shí) ,函數(shù) 32)( 2 ??? xxxf 單調(diào)遞減. 函數(shù) 32)( 2 ??? xxxf 的圖像如圖 . (2) 因?yàn)? ),0(,s in)( ???? xxxxf 所以 1cos)( ??? xxf 所以 ???x0 所以 1cos1 ??? x 所以 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 16 1cos)( ??? xxf ? 0 故函數(shù) ),0(,s in)( ???? xxxxf 在內(nèi)單調(diào)遞減. 函數(shù) ),0(,s in)( ???? xxxxf 在的圖像為 . 利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的增、減形態(tài)是一種重要手段,而在分析 函數(shù)的圖 像、 判斷函數(shù)的單調(diào)性.求解函數(shù)的極值等方面,利用導(dǎo)數(shù)可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.對(duì)于一些高次函數(shù)中的問(wèn)題,用定義解決運(yùn)算量大、繁瑣、困難甚至無(wú)法做到,但是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用則會(huì)取得預(yù)想的效果. 例 7 討論函數(shù) )0()( ??? axaxxf 的單調(diào)性 解析 求解本題有兩種方法,一是應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義,二是導(dǎo)數(shù)法;而求解的關(guān)鍵在于找到參數(shù) a 的分界點(diǎn),相比之下導(dǎo)數(shù)法更加地簡(jiǎn)捷一些. 解法一 (定義法) xaxxf ??)( 的定義域?yàn)??? 0?? xRxx 且 因?yàn)? ? ?xfxaxxaxxf ???????? ???????? )( 所以 )(xf 是奇函數(shù) , 則 )(xf 在全體實(shí)數(shù) R 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 設(shè) 1x , 2x ? ?? ??,0 且 1x ? 2x ,則 112212 )()( xaxxaxxfxf ????? ))((1212 xaxaxx ??? )1)((1212 xxaxx ??? 當(dāng) axx ??? 210 時(shí) 恒有 112 ?xxa 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 17 則 0)()( 12 ?? xfxf 故 )(xf 在 (0, ]a 上是減函數(shù). 當(dāng) axx ?? 12 時(shí) 恒有 10 12 ?? xxa 則 0)()( 12 ?? xfxf , 故 )(xf 在 [ , )a?? 上是增函數(shù). 又因?yàn)?)(xf 是奇函數(shù)在 ?? 0,?? 上 具有相同的增減性 所以 )(xf 在 ( , ]a??? 和 [ , )a?? 上為增函數(shù), )(xf 在 (0, ]a , [ ,0)a? 上是減函數(shù). 解法二 (導(dǎo)數(shù)法) 因?yàn)?xaxxf ??)( 的定義域?yàn)??? 0?? xRxx 且 又 ? ?xfxaxxaxxf ???????? ???????? )( 所以 )(xf 是奇函數(shù), 它在圖像在整個(gè)定 義域上具有對(duì)稱(chēng)性, 故先討論函數(shù) )(xf 在?? ??,0 上的單調(diào)性 求導(dǎo)數(shù)得 21)( xaxf ??? 令 0)( ?? xf 即 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 18 01 2 ??xa 解得 12?xa 因?yàn)? ax?2 又 ?? ??? ,0x 即 0,0 ?? ax 且 所以 ax? 即 )(xf 在 [ , )a?? 上是增函數(shù). 令 0)( ?? xf 得 ax??0 故 )(xf 在 (0, ]a 上是減函數(shù). 因?yàn)?)(xf 是奇函數(shù) 所以 )(xf 在 ( , ]a??? , [ , )a?? 上為增函數(shù) )(xf 在 (0, ]a , [ ,0)a? 上是減函數(shù). 通過(guò)對(duì)解題過(guò)程的對(duì)比,可以看出:定義法具有一定的開(kāi)放性,只有 扣緊單調(diào) 數(shù)的定義,才能找到此題的突破口;而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)只需解不等式就可以了.如此我們得到一個(gè)結(jié)論,并且它會(huì)廣泛應(yīng)用于求解函數(shù)單調(diào)性這類(lèi)題目及其它的函數(shù)題目之中,那就是導(dǎo)數(shù)法是一個(gè)有力的工具,幫我們解決一些較難的題目. 例 8 判斷函數(shù) xxxf 3)( 3 ?? 的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間. 寧夏師范學(xué)院 2021 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 19 解析 本題同樣可用兩種方法解決,運(yùn)用單調(diào)性的定義和導(dǎo)數(shù)法. 解法一 (導(dǎo)數(shù)法) 因?yàn)? xxxf 3)( 3 ?? 的定義域是 R 所以 )1(333)( 22 ????? xxxf 因?yàn)? Rx? 又 02?x 所以 )1(3)( 2 ??? xxf 恒大于等于 0 因此 函數(shù) xxxf 3)( 3 ?? 在 Rx? 單調(diào) 增函數(shù) 解法二 (定義法) 因?yàn)?xxxf 3)( 3 ?? 的定義域是 R 且 )()3(33)()( 333 xfxxxxxxxf ???????????? 所以 )(xf 是奇函數(shù) 由于 )(xf 的圖像 在全體實(shí)數(shù) R 上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ,故先討論函數(shù) )(xf 在 ?? ??,0 上的單調(diào)性 設(shè) 1x 、 2x ?? ??? ,0 , 且 1x ? 2x 則 13123212 33)()( xxxxxfxf ????? )(3 123132 xxxx ???? )(3))(( 1221212212 x
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