【導讀】利用變量替換,將二重極限化為一元函數中的已知極限求極限..19

　　

【正文】 22 12xy xxy ????，故 32200lim 0xyxyxy?? ??. 利用多元函數的 洛必達法則求極限 定理 9[3] 設函數 f與 g在點20 0 0 0 013( , , ) nnX x x x x R??的某空心領域 00( , )U X r 17 內有定義，并且滿足條件： （ 1）00lim ( ) lim ( ) 0x x x xf X g X???? （ 2）函數 f和 g在 00( , )U X r 內可微， 并且 01 ( )( ) 0niii i g X x xx? ? ???? （ 3）00101( ) ( )l im ( )( ) ( )niii inxxiii if X x xxAg X x xx???? ?? ??? ???? 則 0()lim ()xxfX AgX? ? 注意 1 上述定理對于00lim ( ) lim ( )x x x xf X g X??? ? ?同樣成立 . 注意 2 對非有限點20 0 0 0 013( , , )nX x x x x?（20 0 0 013, nx x x x中至少有一個為 ? 的極限問題，只要采用適當變了替換就可以轉化為有限點的情形 例 25 求 22( , ) ( 0 , 0 )lim ( ) ln ( )xy x y x y? ?? 解 22( , ) ( 0 , 0 )lim ( ) ln ( )xy x y x y? ??22( , ) ( 0 ,0 )ln ( )lim 1xyxyxy????002lim 01xyxy?????? 利用連續(xù)性求極限 例 27 求22001lim cos sinxyxye???? 解 原式 0 01??. 例 28 222211ln 1lim ( 1)xyxyxyxy????? ???????. 解 原式 ln 2 1 ln 2 11?? ? ?. 例 29 求00coslim 1xyxyeyxy????? . 18 解 原式 =f(0,0)=0 . 利用無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量求極限 例 30 求 30011lim( ) s in c o sxx xy xy?? ?. 解 原式 = 3001 1 1 1l i m s i n c o s l i m s i n c o sxxxyx y x y????0 0 0? ? ? 例 31 求 22232( 3 ) ( 2 )lim ( 3 ) ( 2 )xyxy????? ? ?. 解 原式2232 ( 3 ) ( 2 )l im ( 3 )( 3 ) ( 2 )xy xy xxy?? ??? ? ?? ? ?. 因為22( 3 )( 2 ) 1( 3 ) ( 2 ) 2xyxy?? ?? ? ?是有界變量，又32lim( 3) 0xy x?? ??為無窮小量， 所以原式 0? . 通過對分式的分子或分母有理化求極限 例 32 求 22220011limxyxyxy????? . 解 原式 2222 22001lim 11xyxyxy xy??? ? ? ? ?. 2222 22001l im l im 11xxyyxyxy xy??? ? ? ? ?. 222001 lim 02xyyxy?????（這里 2x 是無窮小量， 2221yxy??為有界變量） 利用極限的夾逼性準則求極限 例 33 求 2200limxyxyxy???? . 解 由 ? ? 2220 xyxy xyx y x y??? ? ? ???， 19 而 ? ?0 0 , 0x y x y? ? ? ?，故可 知 2200lim 0xyxyxy??? ?? 利用等價無窮小變換求極限 例 34 求 220011limxyxyxy??? ? ?? . 解 當 0, 0xy??時， 220xy??， ? ?2 2 2 211 1 ~ 2x y x y? ? ? ? 原式 = ? ?220012lim 0xyxyxy??? ??. 利用變量替換 , 將二重極限化為一元函數中的已知極限求極限 例 35 求 ? ? ? ?22lim xyxy x y e?????? ?. 解 原式 = ? ? 2 2222li m 2xyxyxy xye x x y y???????? ?? ?????? 當 0, 0xy??時， 222212xyx xy y? ??? 令 xyt?? ? ?2 2lim limx y txtyxy tee?? ? ? ???? ? 22lim lim 0ttttee? ? ? ?? ? ? 故原式 0? . 利用取對數法 求 極限 例 36 求 ? ? 22220limxyxyoxy?? ? 解 令 ? ? 2222xyu x y? ， ? ?2 2 2 2ln lnu x y x y?? ? ? ? ?22 2 2 2 222 lnxy x y x yxy? ? ?? 而 222 2 200211l i m l i m 01xxyyxyx y yx??? ? ?? 令 22xyt?? 20 那么， 220 0 00lnlim lim ln lim 1x t tytx y tt? ? ?? ? ? ?0021lim lim1ttt tt?????0? 故原式 0 1e?? 用三角變換法 求極限 例 37 求 ? ?2 2 2 200lim lnxy x y x y?? ? 解 令 co s , sinx r y r????，則 ? ? ? ?, 0,0xy? 可得 0r? 于是，于是為： 4 2 20 1lim sin 2 ln4r rr?? ? ? ?， 而 211sin 244? ? ，24 2 430 0 0821l im l n l im l im 04 2r r rrrr r rrr? ? ???? ? ? ???? ??， 所以，原式為： 4 2 2001lim ln s in 2 04xy rr ??? ? ? ?. 利用一元函數中的極限推廣 求極限 例 38 求 ? ? ? ?102lim 1 x x yxy x ??? ? 解 因為 ? ?10lim 1 xx xe? ??，0211lim 2xy xy?? ?? 所以 ? ? ? ?102lim 1 x x yxyx ???? ? ?1 11202lim 1xyxxy xe?????? ? ????? 利用無窮小的性質 求極限 與一元函數類似 , 在求極限的過程中 , 以零為極限的量稱為無窮小量 , 有關無窮小量的運算性質也可以推廣到多元函數中 21 例 39 求 ? ?222200 1lim s inxy xy xy?? ? ? 解 以為 ? ?2 2 2 20 0 00 0 0lim lim limx x xy y yx y x y? ? ?? ? ?? ? ?，221sin 1xy?? 所以，原式 0? 利用 (??? )法求極限 例 40 3220y0limxxyxy?? ?（ x， y不同時為 0） 解 因為 33 222 122x y x y xx y xy??? 故 0???， 可取 2??? ，則當 x ?? ， y ?? ? ? ? ?, 0,0xy? 時，有3220xyxy ???? 所以， 32200lim 0xyxyxy?? ??. 22 參考文獻 [1]華東師范大學數學系 數學分析（第三版） [M].北京：高等教育出版社 ， 2020. [2]裴禮文 .數學分析中的典型問題與方法（第二版） [M].北京：高等教育出社2020,4. [3]趙志芳，馬艷園 .多元函數極限的求法 [J].宜春學院數學與計算機科學學院 ,2020. [4]章士藻，毛士忠 .二元函數的極限及其求法 [J]. [5]武淑琴 .二元函數極限的幾種求法 [J].山西財經大學經濟信息學 院 ,2020. [6]郭欣紅，康士臣 .巧解二元函數的極限 [J].遼寧金融職業(yè)學院，沈陽廣播電視大學 ,2020,5. [7]費定暉，周學圣 .吉米多維奇數學分析習題集 [M].山東：山東科學技術出版社，2020,1. [8]李國華 .函數極限的幾種求法 [J].高師理學刊 . [9]孟金濤 .淺談極限的若干求法 [J].鄭州航空工業(yè)管理學院數理系， 2020. [10]百度文庫 《函數極限的若干求法》 鏈接：