【正文】 由 2211 11( ) ( )22nnn n n aaa S S ?? ??? ? ? ?，得 11( ) ( 2) 0n n n na a a a??? ? ? ?。 0na? ,? 1 2nnaa???，即 {}na 是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列 ,從而 2nSn? ，2( 1) ( 1)nnnnb S n? ? ? ?。 當(dāng) 2 ( )n m m N ???，即 偶數(shù)時(shí)， 2nmTT? 2 2 2 2 2 21 2 3 4 ... ( 2 1 ) ( 2 )mm? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2( 2 1 ) ( 4 3 ) .. . [ ( 2 ) ( 2 1 ) ]mm? ? ? ? ? ? ? ?2 (2 1)2mm?? ( 1)2nn?? ； 當(dāng) 2 1( )n m m N? ? ?，即奇數(shù)時(shí)， 22 1 2 2 ( 1 ) ( 1 )22n m m m n n n nT T T b n? ??? ? ? ? ? ? ?。 綜上所述 ( 1 )( 1 ) . , ( )2nn nnT n N ??? ? ?。 分類討論思想在圓錐曲線中的 應(yīng)用 例 1 如圖（二）所示，給定點(diǎn) ( , 0)( 0)A a a ? 和直線 l 上的動(dòng)點(diǎn) AB ， BOA? 的角平分線交 AB 于點(diǎn) C ，求點(diǎn) C 的軌跡方程，并說(shuō)什么曲線。 （ 1999 年全國(guó)卷） （ 圖二） 分析 ：由于動(dòng)點(diǎn) 因 點(diǎn)在直線 L 上的位置的變動(dòng)而變化，故設(shè)出 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， b）(b 為參數(shù) )，由題意知 C 點(diǎn)應(yīng)為 b 的表達(dá)式，消去參數(shù)，即得 C 點(diǎn)的軌跡方程。本體的關(guān)鍵是如何求 C 點(diǎn)的坐標(biāo) ,方法有多種，如利用角平分線的定義，性質(zhì)可得。 解：依題意，記 ( 1, )( )B b b R??，則直線 OA 和 OB 的方程分別為 0y? 和 y bx?? 。 設(shè)點(diǎn) ( , )Cxy ，則有 0 xa?? ， 由點(diǎn)到直線的距離公式得21y bxyb??? ① 點(diǎn) C 在直線 AB 上，故 ()1 by x aa? ? ?? ，由 0xa?? 得 (1 )ayb xa??? ? ② 將 ②代入① 得 2 2 2[ (1 ) 2 (1 ) 0y a x ax a y? ? ? ? ?. 若 0y? ，則 22( 1 ) 2 ( 1 ) 0( 0 )a x ax a y x a? ? ? ? ? ? ?； 若 0y? ,則 0b? , AOB ???，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (0,0) ，滿足上式。 綜上得點(diǎn) C 的軌跡方程為 22( 1 ) 2 ( 1 ) 0( 0 )a x ax a y x a? ? ? ? ? ? ?. 此軌跡方程里含有參數(shù) a ,因參數(shù) a 的值的不同而導(dǎo)致曲線的形狀不同，從而需要對(duì)參數(shù) a 分情況討論。 （ 1） 當(dāng) 1a? 時(shí)，方程化為 2 (0 )y x x a? ? ? ③ 此時(shí)，方程 ③ 表示為拋物線弧段； （ 2） 當(dāng) 1a? 時(shí)，軌跡方程為 2 222()11 ( 0 )11axya xaaa? ?? ? ? ??? ④ 所以，當(dāng) 01a?? 時(shí)，方程 ④ 表示橢圓弧段， 當(dāng) 1a? 時(shí)，方程 ④ 表示雙曲線支的弧段。 分類討論思想在立體幾何中的應(yīng)用 點(diǎn)，線，面是組成幾何圖形的三個(gè)要素，有些立體幾何題中，這三者的位置關(guān)系是不確定的，因此要對(duì)每種情況進(jìn)行分類討論求解，這樣防止漏解。下面一題是涉及點(diǎn)與線的位置關(guān)系不確定的分類討論。 例 1：線段 AB 與平面 ? 平行 ,平面 ? 的斜線 1AA, 與平面 ? 所稱的角分別為 030 和 060 ，且 , 011 90A AB B BA? ? ? ?, AB a? , 11 ( 0)AB b b??，求 AB 與平面 ? 的距離。 分析：作 AC?? ，垂足為 C ，則 AC 即為所求距離。 作 BD?? ，垂足為 D ， //AB? ， ? //AB CD ，由已知可證 AB? 面 1AAC ，同理可證AB? 面 1BBD ， ? 面 1 //AAC 面 1BBD ，由面面平行的性質(zhì)定理可知 11//AC BD 。 考慮到 11,AB在 CD 的同側(cè)或 CD 異側(cè)，所以分兩種情況討論。 解：（ 1）如圖（三）， 11,AB在 CD 的同側(cè)時(shí) ,點(diǎn) 1B 作 11BE AC? ，垂足為 E ，由已知01 30AAC??， 01 60BBD??，設(shè) AC x? ，則可用 x 表示，在 11Rt AEB? 中，利用勾股定理列方程，解得 2232x b a??。 如圖（四 ）， 11,AB在 CD 異側(cè) 時(shí)，在平面 ? 內(nèi)作 11AE BD? ，交其延長(zhǎng)線于 E ，同理可得 2234AC b a??。 分類討論思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用 近幾年來(lái)，高考命題從知識(shí)轉(zhuǎn)向能力測(cè)試，出現(xiàn)了大量有鮮活背景 的實(shí)際應(yīng)用題，這種應(yīng)用題，這種應(yīng)用題，往往 需要有分類討論的思想才能順利解決。其解題思路是 :用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言加以表達(dá)和交流，敏捷的接受試題所提供的信息，并和所學(xué)的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合，確定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，把一個(gè)復(fù)雜的應(yīng)用題分解成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲解。 ，如在本月初出售，可獲利 10 萬(wàn)元，然后將本利都存入銀行，每月利率為 %，如在下月出售，可獲利 12 萬(wàn)元，但要付 萬(wàn)元貨物保管費(fèi)，試問(wèn)這批貨物在本月初出售合算還是下月初出售合算？ 解：設(shè)這批貨物的成本 a 萬(wàn)元。 若這批貨物在本月初出售， 將本利存入銀行，到下月初貨主有金額為 ( 10 )(1 2. 4%)ma? ? ?； 若這批貨物在下月初出售，貨主有金額為 12 ? ? ? ( )m n a a? ? ? ? ?， ? 當(dāng)成本 ? 時(shí)，應(yīng)該本月初出售合算； 當(dāng)成本 ? 時(shí)，在本月初出售或下月初出售都一樣； 當(dāng)成本 ? 時(shí)，在下月初出售合算。 結(jié)束語(yǔ) 分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中經(jīng)常用到的，又叫邏輯劃分。不論是宏觀上還是從微觀上對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，都是深化研究對(duì)象，發(fā)展科學(xué)必不可少的思想，因此分類討論思想既是一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用這一思想，必能構(gòu)解決許多問(wèn)題，為課堂加血帶來(lái)許多亮點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中越來(lái)越有興趣，越來(lái)越有激情。使課堂大放光彩，讓學(xué)生在輕松愉快的學(xué)習(xí)之中獲得知識(shí)，同時(shí)也獲得這一分類討論的思想與方法。 分類討論思想在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí) ,因?yàn)榇嬖?一些不確定的因素 ,解答無(wú)法用統(tǒng)一的方法或結(jié)論不能給出統(tǒng)一的表述 ,對(duì)這類問(wèn)題依情況加以分類 ,并逐類求解 ,然后綜合求解 ,這種解題的方法叫分類討論法 ,它是一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法 .分類討論設(shè)計(jì)全部初中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，其關(guān)鍵是要弄清楚引起分類的原因，明確分類討論的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該按可能出現(xiàn)的情況做出既不重復(fù)，又不遺漏，分門(mén)別類加以討論求解，再將不同結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。 參考文獻(xiàn) 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)） 人民教育出版社 2021 年 中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法 湖南師范大學(xué)出版社 1999 年第一版 3. 周春荔 數(shù)學(xué)觀和方法論 首都師范大學(xué)出版社 8 月 4. 李曉帆 淺談分類討論思想在實(shí)際教學(xué)中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)教研 2021 年 8 月 5. 徐華杰 關(guān)于中學(xué)教學(xué)中分類討論思想的探討 景德鎮(zhèn)高專學(xué)報(bào) 2021 年 6. 李建明 追求自然合理的數(shù)學(xué)課堂教學(xué) 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中） 2021 年 7. 聶文喜，蔡立艷 分類討論思想的應(yīng)用 高考指導(dǎo) 2021 年 4 月 8. 《國(guó)家高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》制定組 《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的框架構(gòu)想 數(shù)學(xué)教育報(bào) 9. 王勇剛 用分類思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 中學(xué)教與學(xué) 2021 年第 1 期 10. 田翠英 數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透分類討論 科技信息 2021 年第 2 期 11. 朱英豪 分類討論思想 中學(xué)生數(shù)理化 2021 年第 5 期 12. 陳令高 分類討論思想的學(xué)習(xí)與運(yùn)用 中學(xué)課程輔導(dǎo) 2021 年第 4 期 . 論分類討論思想在解題中的應(yīng)用 .數(shù)理化學(xué)習(xí)（高中版） . 14, .朱永貞，嚴(yán)明瑗 .新高考全科復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，第 2 版，江蘇教育出版社 . . 高中數(shù)學(xué)解題方法集錦，中國(guó)青少年出版社 . . 名師視點(diǎn)（高中數(shù)學(xué) — 不等式），東北師范大學(xué)出版社 ，紀(jì)耀明 . 雙色好題高中數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練，東北師大出版社 數(shù)學(xué)（理科），天利 38 套，西藏人民出版社