【正文】 福 州 大 學(xué) 48 市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 問 題 供大于求 現(xiàn) 象 商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定 當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定 價格下降 減少產(chǎn)量 增加產(chǎn)量 價格上漲 供不應(yīng)求 描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律 數(shù)量與價格在振蕩 福 州 大 學(xué) 49 蛛 網(wǎng) 模 型 g x0 y0 P0 f x y 0 xk~第 k時段商品數(shù)量； yk~第 k時段商品價格 消費(fèi)者的需求關(guān)系 )( kk xfy ?生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系 減函數(shù) 增函數(shù) 供應(yīng)函數(shù) 需求函數(shù) f與 g的交點(diǎn) P0(x0,y0) ~ 平衡點(diǎn) 一旦 xk=x0，則 yk=y0, xk+1,xk+2,…=x 0, yk+1,yk+2, …=y 0 )(1 kk yhx ??)( 1?? kk xgy福 州 大 學(xué) 50 x y 0 f g y0 x0 P0 設(shè) x1偏離 x0 x1 x2 P2 y1 P1 y2 P3 P4 x3 y3 ?????? 32211 xyxyx0321 PPPP ???? ?00 , yyxx kk ??P0是穩(wěn)定平衡點(diǎn) P1 P2 P3 P4 P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn) gf KK ?x y 0 y0 x0 P0 f g )( kk xfy ? )(1 kk yhx ?? )( 1?? kk xgy00 , yyxx kk ??? ? gf KK ?曲線斜率 蛛 網(wǎng) 模 型 0321 PPPP ???? ?? 福 州 大 學(xué) 51 )( kk xfy ?)(1 kk yhx ??在 P0點(diǎn)附近用直線近似曲線 )0()( 00 ????? ?? xxyy kk)0()( 001 ????? ?? yyxx kk)( 001 xxxx kk ????? ?? )()( 0101 xxxx kk ????? ??1???P0穩(wěn)定 P0不穩(wěn)定 0xx k ???kxfK?? gK??/1)/1( ?? ?)/1( ?? ?1???方 程 模 型 gf KK ?gf KK ?方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致 福 州 大 學(xué) 52 )( 00 xxyy kk ???? ?? ~ 商品數(shù)量減少 1單位 , 價格上漲幅度 )( 001 yyxx kk ???? ?? ~ 價格上漲 1單位 , (下時段 )供應(yīng)的增量 考察 ? , ? 的含義 ? ~ 消費(fèi)者對需求的敏感程度 ? ~ 生產(chǎn)者對價格的敏感程度 ?小 , 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 ? 小 , 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋 xk~第 k時段商品數(shù)量； yk~第 k時段商品價格 1??? 經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 結(jié)果解釋 福 州 大 學(xué) 53 經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法 1. 使 ? 盡量小，如 ?=0 以行政手段控制價格不變 2. 使 ? 盡量小，如 ? =0 靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f 結(jié)果解釋 需求曲線變?yōu)樗? 供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直 福 州 大 學(xué) 54 ]2/)[( 0101 yyyxx kkk ???? ?? ?模型的推廣 ? 生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。 福 州 大 學(xué) 59 )()1()()1( kwkckwkw ?? ?????千卡）千克 /(80001??? 確定某甲的代謝消耗系數(shù) 即每周每千克體重消耗 20200/100=200千卡 基本模型 w(k) ~ 第 k周 (末 )體重 c(k) ~第 k周吸收熱量 ~ 代謝消耗系數(shù) (因人而異 ) ?1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃 每周吸收 20200千卡 w=100千克不變 wcww ?? ??? 100800020200 ???? wc??福 州 大 學(xué) 60 ? 第一階段 : w(k)每周減 1千克 , c(k)減至下限 10000千卡 1)1()( ??? kwkwk2 0 01 2 0 0 0 ??)()1()()1( kwkckwkw ?? ?????第一階段 10周 , 每周減 1千克，第 10周末體重 90千克 10?kkwkw ?? )0()()1(1)0()1( kwkc ???? ????8 0 0 01??0 2 ??9,1,0,2 0 01 2 0 0 0)1( ????? kkkc吸收熱量為 1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃 ]1)([1)1( ??? kwkc ??1 0 0 0 0?? mC福 州 大 學(xué) 61 ])1()1(1[)()1()( 1?????????? nmn Ckwnkw ???? ?? 第二階段：每周 c(k)保持 Cm, w(k)減至 75千克 代入得以 10 00 0,80 001,02 ??? mC??50]50)([9 7 )( ???? kwnkw n????? mmn CCkw ???? ])([)1(1）不運(yùn)動情況的兩階段減肥計(jì)劃 )()1()()1( kwkckwkw ?? ?????基本模型 mCkwkw ?? ???? )()1()1(福 州 大 學(xué) 62 nnkwkw 求，要求已知 75)(,90)( ???50)5090( ??? n? 第二階段：每周 c(k)保持 Cm, w(k)減至 75千克 50]50)([9 7 )( ???? kwnkw n第二階段 19周 , 每周吸收熱量保持 10000千卡 , 體重按 減少至 75千克。 2）第二階段增加運(yùn)動的減肥計(jì)劃 根據(jù)資料每小時每千克體重消耗的熱量 ? (千卡 ): 跑步 跳舞 乒乓 自行車 (中速 ) 游泳 (50米 /分 ) t~每周運(yùn)動時間 (小時 ) )()( )1()()1( kwt kckwkw ??? ??? ????基本模型 )( ??? n 14?n?????????????mmn CCkwnkw ])([)1()(福 州 大 學(xué) 64 3）達(dá)到目標(biāo)體重 75千克后維持不變的方案 )()()1()()1( kwtkckwkw ???? ??????每周吸收熱量 c(k)保持某常數(shù) C，使體重 w不變 wtCww )( ???? ???????? wtC )( ??)( 千卡????C? 不運(yùn)動 )( 千卡????C? 運(yùn)動 (內(nèi)容同前 ) 福 州 大 學(xué) 65 )1()( Nxrxtx ????,2,1),1(1 ????? kNyryyy kkkk 差分形式的阻滯增長模型 連續(xù)形式 的阻滯增長模型 (Logistic模型 ) t??, x?N, x=N是 穩(wěn)定平衡點(diǎn) (與 r大小無關(guān) ) 離散形式 x(t) ~某種群 t 時刻的數(shù)量 (人口 ) yk ~某種群第 k代的數(shù)量 (人口 ) 若 yk=N, 則 yk+1,yk+2,…= N 討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即 k??, yk?N ？ y*=N 是平衡點(diǎn) 福 州 大 學(xué) 66 kk yNrrx)1( ??1?? rb記)1()1(1 Nyryyy kkkk ????離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 ??????????? kkk yNrryry)1(1)1(1)2()1(1 kkk xbxx ???一階 (非線性 )差分方程 (1)的平衡點(diǎn) y*=N 討論 x* 的穩(wěn)定性 變量代換 (2)的平衡點(diǎn) brrx 111* ????福 州 大 學(xué) 67 (1)的平衡點(diǎn) x*—— 代數(shù)方程 x=f(x)的根 穩(wěn)定性判斷 )2())(()( ***1 xxxfxfx kk ?????(1)的近似線性方程 x*也是 (2)的平衡點(diǎn) 1)( * ?? xfx*是 (2)和 (1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn) 1)( * ?? xfx*是 (2)和 (1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn) 補(bǔ)充知識 一階非線性差分方程 )1()(1 kk xfx ?? 的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 68 )21()( ** xbxf ???1)( * ?? xf0 yxxy ?)( xfy ?4/b*x 2/1 1 )1()( xbxxfx ???)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 平衡點(diǎn) bx11* ??穩(wěn)定性 31 ?? b2/1/11* ??? bx*xx k ?（單調(diào)增）0x1x1x 2xx* 穩(wěn)定 21)1( ?? b)1)((3 * ??? xfb x* 不 穩(wěn)定 另一平衡點(diǎn)為 x=0 1?? rb1)0( ??? bf不穩(wěn)定 b?? 2福 州 大 學(xué) 69 3)3( ?b0 1/2 1 y4/bxy?)(xfy ?0x 1x *x 2x x32)2( ?? b2/1/11* ??? bx*xxk ?（振蕩地）y0 xxy?)(xfy ?0x 1x 2x*x2/1 1 4/b*xxk ?（不）)1(1 kkk xbxx ??? 的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性 福 州 大 學(xué) 70 )1(1 kkk xbxx ???初值 x0= 數(shù)值計(jì)算結(jié)果 bx11* ??b 3, x? b=, x?兩個極限點(diǎn) b=, x?4個極限點(diǎn) b=, x?8個極限點(diǎn) 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91 ? ? 3 2 1 0 b= k