【正文】 學(xué)模型 一、 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 二、 傳遞函數(shù)與方塊圖 三、 狀態(tài)空間模型 四、 狀態(tài)空間分析法 五、 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 (只介紹基本概念 ) 五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 非線性系統(tǒng)的定義和特點(diǎn) 單變量非線性系統(tǒng)的線性化 多變量非線性系統(tǒng)的線性化 定義 ：用非線性方程表示的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，如： tAxyxzxyxy ?s i n)x(x , , ,s i n 2222 ??????? ???特點(diǎn) ：不滿足疊加原理。 其中 Ts表示相鄰兩點(diǎn)間的時(shí)間間隔，即抽樣周期。 A/D板的字長(zhǎng)越長(zhǎng)，抽樣速度越快，價(jià)格越高。 離散系統(tǒng)的基本概念及表示方法 D(z) H(s))( tx )( tyx * (t) y* (t)T 0G 0 (s)采樣器 保持器為了進(jìn)行分析，表示成方塊圖： 用采樣器代替 A/D 用保持器代替 D/A D(z))( tx x*(t ) y *(t )T 0G (s)T 0簡(jiǎn)化： 把保持器和被控對(duì)象連續(xù)部分合并G(s)=H(s)G0(s) 在簡(jiǎn)化后，為了分割離散部分和連續(xù)部分，此處加入一個(gè)采樣開關(guān) (2)混合離散系統(tǒng)：系統(tǒng)同時(shí)包含離散信號(hào)和連續(xù)信號(hào) A/D 數(shù)字信號(hào) 處理器 D/A)( tx )( snTx )( snTy )( tyx*(t ) y *(t ) 被控對(duì)象開環(huán)離散控制系統(tǒng)： 離散 連續(xù) 連續(xù) 其控制信號(hào)、反饋信號(hào)經(jīng)過采樣器離散化，得到離散的偏差信號(hào)。 用 12位字長(zhǎng)的的 A/D板，分辨率位 5/212=。 非線性系統(tǒng)的定義和特點(diǎn) 假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為 x(t)， 輸出量為 y(t),且滿足關(guān)系： )(xfy ????????? 222 )(!21)()()( xxdx fdxxdxdfxfxfy如果系統(tǒng)在給的某一額定工作狀態(tài) 的附件作微小變化時(shí)，那么在 ),( yx該點(diǎn)上的泰勒級(jí)數(shù)為 式中導(dǎo)數(shù) 很?。c(diǎn)上計(jì)算，若是在 xxxxdx fddxdf ??, , 22,可忽略高階項(xiàng)，有 即 )( xxkyy ???)( xxkyy ??? 式中 xxdxdfkxfy??? ),(單變量非線性系統(tǒng)的線性化 附近的線性化模型 ),( yx非線性系統(tǒng) )(xfy ? 在工作點(diǎn) 假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為 x1(t)， x2(t)， 輸出量為 y(t),且滿足關(guān)系： ),( 21 xxfy ??????????????????????????????????????222222221121221121222211121)())((2)(!21 )()(),(xxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfy在某一額定工作點(diǎn) ),(21 xx展開為泰勒級(jí)數(shù)： 式中偏導(dǎo)數(shù)是在 1111 , xxxx ?? 上計(jì)算 ,忽略高階項(xiàng)，有 )()( 222111 xxkxxkyy ?????式中 22112211 ,21,1121 , ),(xxxxxxxx xfkxfkxxfy???? ???????在工作點(diǎn) 附近的線性化模型 非線性系統(tǒng) ),( 21 xxfy ?),( 21 xx自學(xué)課本 p22 例 112，更正見教材 多變量非線性系統(tǒng)的線性化 167。 ? 狀態(tài)變換及狀態(tài)變量的非唯一性（了解） 上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點(diǎn)（二） ? 傳遞矩陣的定義及計(jì)算。 )(10)(00 10)( tutXtX ???????????????例 判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性 ? ? )(10)( tXtY ?解 :因?yàn)? ??????????????????????????? 011000 10 10 ABB所以 ???????? 01 10]|[ ABBG則 2)( ?Gra n k 系統(tǒng)能控 又 因?yàn)? ??????????????????????????? 001001 00 10 TTT CAC所以 ???????? 01 00]|[ TTT CACH則 21)( ??Hr a n k 系統(tǒng)不能觀 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假設(shè)一個(gè) n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： )()()( tBUtAXtX ???則系統(tǒng)的特征方程為： 0|| ?? AsI其特征值為： nsss , 21 ?穩(wěn)定性的充分必要條件 ： 所有特征值位于 s平面的左半平面 系統(tǒng)微分方程方框圖狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)響應(yīng)能控性分析能觀性分析穩(wěn)定性分析系統(tǒng) 系統(tǒng)分析建立數(shù)學(xué)模型（傳遞矩陣）（線性化）連續(xù)系統(tǒng)分析過程框圖 第三次作業(yè) 24,25,26 補(bǔ)充作業(yè)： 2A: 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，試證明狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞矩陣。如果系統(tǒng)在有定義的時(shí)間區(qū)間上的每一時(shí)刻都可控，則稱系統(tǒng)為具有完全可控性。對(duì)于此單輸入輸出系統(tǒng)，傳遞矩陣與傳遞函數(shù)是等價(jià)的。 ? 不同的狀態(tài)向量對(duì)應(yīng)不同的狀態(tài)方程。 以各 方框單元的輸出變量 和 系統(tǒng)總輸出變量的一階導(dǎo)數(shù) 作為狀態(tài)變量。所以該狀態(tài)變量不能確定系統(tǒng)狀態(tài)。求其狀態(tài)空間表達(dá)式。 討論 ? 建立系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型后，若已知系統(tǒng)的輸入，是否可以唯一確定系統(tǒng)的輸出？ ( ) ( ) ( )d y t a y t x tdt ??( ) ( )btx t Ae u t?已知 167。若卷積可以直接計(jì)算，則無需進(jìn)行拉氏變換。對(duì)非零初始條件的系統(tǒng)，該方法便不能表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。 控制系統(tǒng)的分析方法 167。 可用更一般的輸入函數(shù)代替特殊的、典型的輸入函數(shù)來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 167。 控制系統(tǒng)的分析方法 167。而經(jīng)典控制理論適合于分析定常系統(tǒng)和單輸入輸出系統(tǒng)。 2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 167。 ? 傳遞函數(shù)：初始條件為零時(shí)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 )()()(sRsCsG ?傳遞函數(shù)應(yīng)用說明： ? 前提為 零初始條件 。傳遞函數(shù)為 H 圖1 1 1t0u (t)?????ttHy (t )u (t )則輸入信號(hào)可以表示為單位脈沖信號(hào) 的疊加 ?????ttutu0)()()(?????則輸出信號(hào)可以線性算子表示為 ???????????ttutHtuHtHuty00)()]([ )()()()(??????????0???當(dāng) 時(shí)，上述和式可以用積分表示 )()( )()( )()]([)(00tuthduthdutHtytt?????? ?? ???????系統(tǒng)對(duì)輸入函數(shù)的響應(yīng)，即為該函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函 數(shù)的卷積。 ? 復(fù)習(xí)了傳遞函數(shù)和方框圖， 要求掌握具體物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和方塊圖的繪制 。故 可作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量 )( tei)( ),( 0 teti)()()()( 0 tetRidt tdiLte i ??? dt tdeCti )()( 0?其中 （ 1） 取狀態(tài)變量 )((t ))( (t )021textix?? （ 2） )()()()( 211 txtRxdt tdxLte i ???帶入回路方程有 （ 3） 狀態(tài)空間表達(dá)式 綜合 (1)(2)(3)式有 ??????????)(1)()(1)(1)()(12211txCdttdxteLtxLtxLRdttdxi（ 4） (t))( 2xty ?輸出量 （ 5） 將 (4)(5)寫為矩陣形式： )(01)()(011)()(2121 teLtxtxCLLRtxtxi??????????????????????? ??????????? （ 6） ? ? ???????(t )(t )10)(21xxty （ 7） ? 式 (6)為狀態(tài)方程 : 表示輸入量和狀態(tài)變量的關(guān)系 ? 式 (7)為輸出方程 : 表示輸出量和狀態(tài)變量的關(guān)系 ? 這兩個(gè)公式聯(lián)合起來就是狀態(tài)空間表達(dá)式 例 ：用右圖所示質(zhì)量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)，如果有一外力 u(輸入 )在 t0時(shí)刻作用于系統(tǒng)，當(dāng)質(zhì)量 m在 t0時(shí)刻的位置和速度已知時(shí)，其將來的位置 y(輸出 )即唯一確定。 0tt?(2)對(duì)于一個(gè) 不含控制量 u的微分的 n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) uyayayay nnnn ????? ?? ?? 1)1(1)( （ 1） 由于不含控制量的微分 , 取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為： ??????????? )1(21 nn yxyxyx?? （ 2） 式 (1)的 n階微分方程可寫為 n個(gè) 1階微分方程 ???????????????? uxaxaxaxxxxxnnnn 12113221 ?????（ 3） 1xy?輸出量 （ 4） 由系統(tǒng)微分方程列寫狀態(tài)空間表達(dá)式： 寫為矩陣形式，得到狀態(tài)方程： （ 5） )()()( tButAXtX ????????????????nxxxtX????? )( 21式中： ?????????????nxxxtX? )( 21??????????????????????? 121100001000010aaaaAnnn??????????????????????????1000?B)()()( tdutCXty ?? （ 6） 輸出方程為： 式中： ? ?0001 ??C 0?d???????)()()()()()(tdutCXtytButAXtX?即 n階單輸入輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 狀態(tài)方程 輸出方程 (3)對(duì)于一個(gè) 含控制量 u的微分的 n階單輸入單輸出線性定常系統(tǒng) ububububyayayay nnnnnnnn ????????? ???? ???? 1)1(1)(01)1(1)( （ 1） 求其狀態(tài)空間表達(dá)式 則可以將式 (1)寫為 n個(gè) 1階微分方程 ?????????????????????? ububububxaxaxaxxxxxnnnnnnnn ???????1)1(1)(012113221 ??????????? )1(21 nn yxyxyx??分析：如果仍然取狀態(tài)變量為： ? 上述一階微分方程含有控制量的各階微分項(xiàng)，若控制量為階躍函數(shù)，則其微分為脈沖函數(shù)，導(dǎo)致使上述狀態(tài)軌跡產(chǎn)生無窮大的跳躍。 規(guī)則和步驟： 寫出 各方框單元 的傳遞函數(shù)，并用拉氏反變換求出其微分方程。 狀態(tài)向量不是唯一的 。先建立狀態(tài)空間表達(dá)式，然后求出傳遞矩陣。 由于齊次方程為非齊次方程的特例，所以下面以非齊次方程為例講解狀態(tài)方程的解法 ? 用拉氏變換法求解非齊次求解狀態(tài)方程 設(shè)非齊次狀態(tài)方程為： )()()( tBUtAXtX ??? （ 1） 式 (1)兩邊同時(shí)取拉氏變換： )()()0()( sBUsAXXssX ??? （ 2） 則： )()()0()()( 11 sBUAsIXAsIsX ?? ???? （ 3） 式 (3)兩邊同時(shí)取拉氏反變換 ,得到狀態(tài)方程的解 ： )]()[()0(])[()( 1111 sBUAsILXAsILtX ???? ???? （ 4） 利用拉氏變換的卷積定理 )()()()( 210 21 sFsFdftfL t ??????? ?? ???由于式 (4)的計(jì)算比較復(fù)雜，可