【正文】 ?L頻率響應(yīng)方法：利用系統(tǒng)的頻率特性進(jìn)行分析，獲得系統(tǒng)的特性指標(biāo) 根軌跡法：利用系統(tǒng)的根軌跡圖分析其特性。 是一種內(nèi)部描述法，不僅研究輸入輸出的關(guān)系，同時(shí)還以系統(tǒng)內(nèi)部變量為研究對(duì)象。而經(jīng)典控制理論適合于分析定常系統(tǒng)和單輸入輸出系統(tǒng)。 本質(zhì)上是在時(shí)域上研究問(wèn)題。 本章規(guī)劃 ? 在《控制工程基礎(chǔ)》課程中，主要介紹了線性連續(xù)定常系統(tǒng)的兩種分析方法 —時(shí)域分析法和頻域響應(yīng)法。 ? 本章主要以狀態(tài)空間分析法和線性離散系統(tǒng)的介紹為主。 2系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 167。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 167。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一、 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 二、傳遞函數(shù)與方塊圖 三、狀態(tài)空間模型 四、狀態(tài)空間分析法 一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 ? 建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)之上，也稱輸入輸出描述法。應(yīng)用最多的為傳遞函數(shù) 167。 ? 傳遞函數(shù)：初始條件為零時(shí)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比 )()()(sRsCsG ?傳遞函數(shù)應(yīng)用說(shuō)明： ? 前提為 零初始條件 。 ? 系統(tǒng)內(nèi)部往往有多種變量，而傳遞函數(shù)只反映輸入量與輸出量之間的關(guān)系，不能表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部其它變量的情況。 :ie 電樞上的控制電壓 (輸入 ) :aR 電樞繞組電阻 :aL 電樞繞組電感 :fi 激磁繞組電流 :ai 電樞電流 :? 電動(dòng)機(jī)軸角位移（輸出） :J 電動(dòng)機(jī)軸總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 :f 電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù) :be 電樞繞組中的反電動(dòng)勢(shì) :T 電磁轉(zhuǎn)矩 解：根據(jù)克?；舴蚨桑玫诫妷浩胶夥匠蹋? ibaaaa eedtdiLiR ???電樞轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在電樞繞組中將感應(yīng)出反電動(dòng)勢(shì) eb， 由于激磁電流 if不變，所以激磁磁通也為常數(shù)。尤其在信號(hào)以曲線形式表達(dá)或不能應(yīng)用拉氏變換的情況。傳遞函數(shù)為 H 圖1 1 1t0u (t)?????ttHy (t )u (t )則輸入信號(hào)可以表示為單位脈沖信號(hào) 的疊加 ?????ttutu0)()()(?????則輸出信號(hào)可以線性算子表示為 ???????????ttutHtuHtHuty00)()]([ )()()()(??????????0???當(dāng) 時(shí)，上述和式可以用積分表示 )()( )()( )()]([)(00tuthduthdutHtytt?????? ?? ???????系統(tǒng)對(duì)輸入函數(shù)的響應(yīng)，即為該函數(shù)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函 數(shù)的卷積。這便 是卷積的意義。是控制工程中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種有效方法。 ? 希望同學(xué)們?cè)谡n后認(rèn)真復(fù)習(xí)方框圖的有關(guān)知識(shí)。 ? 復(fù)習(xí)了傳遞函數(shù)和方框圖， 要求掌握具體物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和方塊圖的繪制 。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 二、傳遞函數(shù)與方塊圖 三、 狀態(tài)空間模型 四、狀態(tài)空間分析法 三、狀態(tài)空間模型 基本概念 狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程） 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)變量的非唯一性 傳遞矩陣 基本概念 ? 狀態(tài) ? 狀態(tài)變量 ? 狀態(tài)向量 ? 狀態(tài)空間 (1) 狀態(tài)： 是確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀況最少數(shù)目的一組變量。 系統(tǒng)在 時(shí)初始條件的總和 就是系統(tǒng)在 時(shí)的狀態(tài) 0tt?)(),( ),( 00201 txtxtx n?0t0tt?)(tu 0tt?0tt?右圖系統(tǒng)的微分方程為 )(22 tudt xdM ?Mx (t)u( t)其拉氏變換為 )()]0()0()([ 2 sUxsxsXsM ????系統(tǒng)在 t=0 時(shí)的狀態(tài)可以由 )0()0( ,)0( xvx ?? 確定 如果 均為已知時(shí)的和 )(0)0( ,)0( tutvx ? ，則系統(tǒng)在 t時(shí)的狀態(tài) x(t)和 v(t) 就可以被確定，所以 )( ,)( tvtx 可以作為上圖系統(tǒng)的狀態(tài) （ 2)系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)狀態(tài)之間的關(guān)系 Φy(t)u( t)圖1 1 200 )]() } ,([{)( tttutxty ?? ? )]() } ,([{)( 000 tutxty ??000201 )](),(,),(),([)( tttutxtxtxty n ?? ??對(duì)于圖 112單輸入輸出系統(tǒng)，有 )](,),(),([ 00201 txtxtx n?記 )}({ 0tx為 則 0tt?在 時(shí) 0t而 的取值時(shí)任意的，所以 )]() } ,([{)( tutxty ??在任意時(shí)刻 t， 系統(tǒng)的響應(yīng) y(t)完全可以由該瞬時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài) {x(t)}和該瞬時(shí)的系統(tǒng)輸入 u(t)確定 1)(1 xtuv R ??])([11 11111 xtuRvRi RR ???12 xvR ?1212 xRiR ?233 xRv R ?23 xiR ?2121121])([121 xxRxtuRxiii RRc ???????23132 xRxvvv RRL ????右圖的電路網(wǎng)絡(luò)中，如果已知 輸入電壓 u(t)電容上的電壓 x1和 電感中的電流 x2， 試用這兩個(gè)變 量表示網(wǎng)絡(luò)中所有變量 LCR 1u (t)R 3R 2i fi R 1v R 1 i R 2 i R 3v R 2 v R 3x 1i cv Lx 2])([1 111 xtuRii Rf ???在任意時(shí)刻 t， 網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)由該瞬電時(shí)容電壓 x1和電感中的 電流 x2 確定，因此， x1 和 x2可以作為該網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài) （ 3)狀態(tài)變量 ? 構(gòu)成控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量稱為狀態(tài)變量。 （ 5)狀態(tài)空間 ? 所有狀態(tài)向量 x(t)張成的空間稱為狀態(tài)空間 ? 系統(tǒng)的任意狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個(gè)點(diǎn)表示 ? 如果狀態(tài)向量是 n維的，則張成的狀態(tài)空間稱為 n維狀態(tài)空間。故 可作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量 )( tei)( ),( 0 teti)()()()( 0 tetRidt tdiLte i ??? dt tdeCti )()( 0?其中 （ 1） 取狀態(tài)變量 )((t ))( (t )021textix?? （ 2） )()()()( 211 txtRxdt tdxLte i ???帶入回路方程有 （ 3） 狀態(tài)空間表達(dá)式 綜合 (1)(2)(3)式有 ??????????)(1)()(1)(1)()(12211txCdttdxteLtxLtxLRdttdxi（ 4） (t))( 2xty ?輸出量 （ 5） 將 (4)(5)寫為矩陣形式： )(01)()(011)()(2121 teLtxtxCLLRtxtxi??????????????????????? ??????????? （ 6） ? ? ???????(t )(t )10)(21xxty （ 7） ? 式 (6)為狀態(tài)方程 : 表示輸入量和狀態(tài)變量的關(guān)系 ? 式 (7)為輸出方程 : 表示輸出量和狀態(tài)變量的關(guān)系 ? 這兩個(gè)公式聯(lián)合起來(lái)就是狀態(tài)空間表達(dá)式 例 ：用右圖所示質(zhì)量 — 彈簧 — 阻尼系統(tǒng)，如果有一外力 u(輸入 )在 t0時(shí)刻作用于系統(tǒng)，當(dāng)質(zhì)量 m在 t0時(shí)刻的位置和速度已知時(shí)，其將來(lái)的位置 y(輸出 )即唯一確定。 m圖1 1 6ku yf解：取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ?????yxyx?21kyyfuym ??? ??? 根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為 把狀態(tài)變量帶入有 ??????????muxmfxmkxxx21221??1xy?寫為矩陣形式，得到狀態(tài)空間表達(dá)式： umxxmfmkxx???????????????????????????????? 10102121??? ? ???????2101xxy上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點(diǎn) ? 介紹了單輸入輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間的基本概念及狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程）， 要求掌握單輸入輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的求解。 n 階系統(tǒng)圖1 1 4系統(tǒng) YUy 2u2y mupy 1u1線性對(duì)象x 2u 2x nupx 1u 1輸出元件y 2y my 1? ?TpuuutU ?21)( ?? ?TmyyytY ?21)( ?其輸入和輸出為向量： ? ?TnxxxtX ?21)( ?n階系統(tǒng)有 n個(gè)狀態(tài)變量 其狀態(tài)向量： （ 2）多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間的表達(dá)式 控制向量 其狀態(tài)空間表達(dá)式可寫為： ???????)()()()()()(tDUtCXtYtBUtAXtX?? 對(duì)于多輸入多輸出線性定常系統(tǒng)， A， B, C, D均為常數(shù)矩陣，它們由系統(tǒng)的性質(zhì)確定。再利用輸出方程就可以確定系統(tǒng)輸出 ? 可見(jiàn)，單輸入單輸出系統(tǒng)是多輸入輸出系統(tǒng)的特例，即 p=m=1 ?????????????nxxxtX????? )( 21式中： ?????????????nnnnnnaaaaaaaaaA???????212222111211狀態(tài)矩陣（系統(tǒng)矩陣） ???????????????npnnppbbbbbbbbbB???????212222111211輸入矩陣 ?????????????mnmmnncccccccccC???????212222111211輸出矩陣 ???????????????mpmmppdddddddddD???????212222111211前饋矩陣 在線性時(shí)變系統(tǒng)中，其系數(shù)矩陣是與時(shí)間有關(guān)的變量，一個(gè) n階系統(tǒng)狀態(tài)空間的表達(dá)式為： ???????)()()()()()()()()()(tUtDtXtCtYtUtBtXtAtX?前饋矩陣輸出矩陣輸入矩陣狀態(tài)矩陣 )( )( )( )(pmtDnmtCpntBnntA????????控制向量維輸出向量維狀態(tài)向量維 )( )( )(ptUmtYntX???式中： （ 3）多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間的表達(dá)式 上述系統(tǒng)的方框圖為： 圖1 1 5U (t)? dt C(t)B(t)D(t)A(t)? ?X (t) Y( t)+++)(tX?三、狀態(tài)空間模型 基本概念 狀態(tài)空間表達(dá)式（狀態(tài)方程和輸出方程） 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式 由方框圖直接列寫狀態(tài)空間表達(dá)式 狀態(tài)變量的非唯一性 傳遞矩陣 (1)：用下面的微分方程描述的系統(tǒng)，輸入為 u,輸出為 y 已知系統(tǒng)的初始條件 )0(),0(),0( yyy ??? 求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式 uyadtdyadt ydadt yd ???? 0122233（ 1） 解：取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為 ????????yxyxyx???321 （ 2） 帶入 (1)有： uxaxaxax ?????3221103? （ 3） 綜合 (2)(3)將原三階微分方程 (1)變換為 3個(gè)一階微分方程