【正文】 1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]=aF1(s)+bF2(s) ◆ 微分定理 時(shí)的值。 對(duì)于在 t=0處連續(xù)或只有 第一類間斷點(diǎn) 的函數(shù)， 0和 0+型的拉氏變換是相同的，但對(duì)于在 t=0處有無(wú)窮跳躍的函數(shù)，兩種拉氏變換的結(jié)果是不一致的。如果線性積分 存在，則稱它為函數(shù) f(t)的拉普拉斯變換，稱 F(s)是 f(t)的 象函數(shù) ，稱 f(t)是 F(s)的 原函數(shù) 。 13 非線性微分方程的線性化 不滿足展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的條件的非線性特性，不能應(yīng)用“ 小偏差 ” 線性化的概念進(jìn)行線性化的非線性特性叫做 本質(zhì)非線性 。 ?線性化后的微分方程通常是增量方程，在實(shí)用上為了簡(jiǎn)便通常直接采用 y和 x來(lái)表示增量。因此在線性化時(shí)必須確定元件的工作點(diǎn)。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可以用該點(diǎn)的切線方程線性化。這種線性化方法稱為 小偏差法 。 ?在工作點(diǎn)附近存在 各階 導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。 ◆ 線性化的條件： ?小偏差理論 或小信號(hào)理論。通常在建立模型時(shí)，會(huì)在模型精確性和可行性之間做出折衷考慮。 ?系統(tǒng)由幾個(gè)儲(chǔ)能元件就是幾階微分方程。 ◆ 設(shè)回路電流為 i1(t) 、 i2(t)，由克?；舴蚨蓪?xiě)出回路方程為： ur R1 R2 uc C2 i1 i2 C1 cc uiRu ?? 221)(1 2111 iiCdtdu c ??111 cr uiRu ??221 iCdtdu c ?◆ 消去中間變量 i1(t) 、 i2(t)、 uc1，得到描述網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程為 rccc uudtduCRCRCRdtudCRCR ????? )(212211222211rccc uudtduTTTdtudTT ????? )(3212221令 T1=R1C1， T2=R2C2， T3=R1C2則有 負(fù)載效應(yīng) 微分方程的建立 例 9 ?列寫(xiě)微分方程要注意： ?確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、遵循物理定律。 ◆ 設(shè)回路電流為 i(t),由克?；舴蚨蓪?xiě)出回路方程為： ◆ 消去中間變量 得到描述電路輸入輸出關(guān)系的微分方程為 ??itR L C ur uc RLC電路 與前面建立的彈簧 質(zhì)量 阻尼器系統(tǒng)的微分方程比較， cr udtdiLRiu ???Cidtdu c ?? ? ? ? ? ?tuudttduRCdttudLCrccc ???22二者的結(jié)構(gòu)有相似之處，稱為 相似系統(tǒng) 。 ◆ 然后根據(jù)物理定律列寫(xiě)方程 dttdyftF )()(1 ??2221)()()()(dttydmtFtFtF ???質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng) 阻尼器的阻力 F1(t) 彈簧的恢復(fù)力 F2(t) 則令 kKmkfkmT 1,2, ??? ? )()()(2)(222 tKFtydttdyTdttydT ??? ?◆ 消去中間變量，化為標(biāo)準(zhǔn)形式 式中， T為時(shí)間常數(shù)， ?為阻尼比， K為比例系數(shù) 。 )()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn???????????????????6 試寫(xiě)出外力 F(t)與質(zhì)量塊的位移 y(t)之間的微分方程。 系統(tǒng)原理方塊圖 確定輸入輸出量 各元件的微分方程 整理 標(biāo)準(zhǔn)形式 消去中間變量 I/O之間的微分方程 簡(jiǎn)化 控制系統(tǒng)的微分方程 5 控制系統(tǒng)的微分方程 ◆ 對(duì)任何線性定常系統(tǒng)，假如它的輸出為 c(t)，輸入為 r(t) ，則系統(tǒng) 微分方程模型 的一般形式如下： 有時(shí)將輸出的 0階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)化為 1。 ◆ 本章討論的系統(tǒng)： ?單輸入單輸出集中參數(shù)線性定常系統(tǒng) ?可以線性化的非線性單輸入單輸出集中參數(shù)定常系統(tǒng) 引言 4 ◆ 建立控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟 ◆ 在建立系統(tǒng)微分方程模型時(shí)，應(yīng)注意 ?各元件的信號(hào)傳送的單向性，即前一個(gè)元件的輸出是后一個(gè)元件的輸入， 一級(jí)一級(jí)的單向傳送 ； ?前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)對(duì)前級(jí)的 負(fù)載效應(yīng) 。 ?線性定常系統(tǒng) ： 線性微分方程的各項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)。 疊加原理說(shuō)明兩個(gè)不同的 作用函數(shù) 同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè) 作用函數(shù) 單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是偏微分方程。動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型通常是微分方程。 ◆ 系統(tǒng) 多個(gè)元部件通過(guò)某種方式組合在一起所構(gòu)成的整體。 ?數(shù)學(xué)模型的形式： ?如果只需要反映系統(tǒng) 靜態(tài)關(guān)系 ，就可以用代數(shù)方程； ?如果要表示系統(tǒng)輸入和輸出之間的 動(dòng)態(tài)關(guān)系 ，就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。1 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 引言 控制系統(tǒng)的微分方程（時(shí)域） 微分方程的建立 非線性微分方程的線性化 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)（復(fù)域） Laplace變換 傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 信號(hào)流圖 脈沖響應(yīng)函數(shù) 2 ◆ 數(shù)學(xué)模型 是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)而言，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。 ?建立模型的方法：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。 ?集中參數(shù)系統(tǒng) ：變量?jī)H僅是時(shí)間的函數(shù)。 ?分布參數(shù)系統(tǒng) ：變量不僅是時(shí)間函數(shù)，而且還是空間的函數(shù)。 引言 3 ?線性系統(tǒng) :滿足 疊加原理 （加和性 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)與齊次性 f(kx)=kf(x)）的系統(tǒng)。 非線性系統(tǒng) ：不滿足疊加原理的系統(tǒng)。 ?線性時(shí)變系統(tǒng) ：線性系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)為時(shí)間的函數(shù)。 ?最后化成 標(biāo)準(zhǔn)形式： 與輸入量相關(guān)的寫(xiě)在方程右邊，與輸出量相關(guān)的寫(xiě)在方程左邊，兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。 對(duì)于實(shí)際的系統(tǒng)， n≥m，而且大多數(shù)系統(tǒng) nm。 k F(t) m f y(t) ◆ 首先確定輸入和輸出。 f —阻尼系數(shù) k —彈性系數(shù) 22( ) ( ) 1( ) ( )m d y t f d y t y t F tk d t k d t k? ? ?2 ( ) ( )F t k y t??微分方程的建立 例 7 ◆ 首先確定輸入和輸出。 )()()(2)(222 tKFtydttdyTdttydT ??? ?令 RC=T2， L/R=T1，則 ? ? ? ? ? ?tuudttduTdttudTTrccc ???22221微分方程的建立 例 8 ◆ 首先確定輸入和輸出。 ?忽略次要因素，簡(jiǎn)化分析計(jì)算。 微分方程的建立 例 10 非線性微分方程的線性化 ◆ 問(wèn)題的提出 模型精度越高，模型就越復(fù)雜，通常會(huì)產(chǎn)生非線性。 ◆ 在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的 線性化 。 在工程實(shí)踐中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)，當(dāng)變量在工作點(diǎn)附近作小范圍的變化時(shí)，就滿足這個(gè)條件。 ◆ 線性化的方法： 在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階項(xiàng)后，就可得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。 11 非線性微分方程的線性化 設(shè)非線性函數(shù) y=f(x)如圖所示，如果在給定工作點(diǎn) y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，則在 y0=f(x0)附近將 y展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)： ?????????????????????????202200)()(!21)()()()(00xxxxfxxxxfxfxfyxx如果偏差 Δ x=xx0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)，上式可寫(xiě)為 xKxxxxfxfxfyyyxxxxfxfxfyxx?????????????????????????????)()()()()()()()(0000000K表示 y=f(x)曲線在 (x0, y0)處切線的斜率。 y y=f(x) y0 x0 x 12 非線性微分方程的線性化 ?在處理線性化問(wèn)題時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)： ?上述的線性化是針對(duì)元件的某一工作點(diǎn)進(jìn)行的，工作點(diǎn)不同，得到的線性化方程的系數(shù)也將不同。 ?在線性化過(guò)程中，略去了泰勒級(jí)數(shù)中二階以上的無(wú)窮小項(xiàng)，如果實(shí)際系統(tǒng)中輸入量變化范圍較大時(shí)，采用小偏差法建立線性模型必然會(huì)帶來(lái)較大的誤差。 ?如果描述非線性特性的函數(shù)具有間斷點(diǎn)，折斷點(diǎn)或非單值關(guān)系而無(wú)法作線性化處理時(shí)，則控制系統(tǒng)只能應(yīng)用非線性理論來(lái)研究。 14 Laplace變換 ◆ 定義 設(shè)有函數(shù) f(t),t為實(shí)變量， s=?+jω為復(fù)變量。變換后的函數(shù)是復(fù)變量 s的函數(shù)，記作 F(s)或 L[f(t)]即 0( ) ( )stF s f t e d t? ?? ?[ ( ) ] ( )L f t F s?在上式中，其積分下限為零，但嚴(yán)格說(shuō)有 0和 0+之分。 為了反映這些函數(shù)在 [0， 0+]區(qū)間的表現(xiàn)，約定式中的積分下限為 0。及其各階導(dǎo)數(shù)在為函數(shù)）（式中0)()0(),0(39。)0()(])([)1()1(21??????????ttffffffsfssFsdttfdLnnnnnnn??)(])([0)0()0(39。( 1 ) ( 2 ) ( )( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1( ) ( )nnnf f fL f t d t F ss? ? ?? ? ??? ????? ?如 果 ， 則 有◆ 位移定理 。處有極點(diǎn)，不滿足應(yīng)用在不存在，且，因?yàn)?????jsssssFtttft??????? 22)(s i nlims i n)(存在，)(lim tft ??終值定理只適用于 sF(s)在復(fù)平面右半部（包括虛軸上 )沒(méi)有極點(diǎn)的情況。是及 )(, 2121 sFzzzppp mn ??對(duì)于 F(s)含有極點(diǎn)的不同情況，展開(kāi)成部分分式的形式也不同，下面分三種情況討論。如果 p p2是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則 A A2也是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，則 A A2只求一個(gè)即可。 23 Laplace反變換 ◆ F(s)中包含有多重極點(diǎn) 若 p1是 F(s)的 r重極點(diǎn)，其他極點(diǎn)互不相同，則 )()()()()()()()()()()()(1111111111nnrrrrrrnrrpsApsApsBpsBpsBpspspssMsNsMsF?????????????????????????重極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)待