【正文】 定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài) ， 而且在強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)中 （ 即零初始條件響應(yīng) ） 也會(huì)包含這些自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài) 。 izjp00* / abK ??二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 ○ 43 （ 2）傳遞函數(shù)表示形式為： 式中， 、 稱為時(shí)間常數(shù)； 為傳遞系數(shù)或增益。 二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 38 例 7 求電樞控制直流電動(dòng)機(jī)傳遞函數(shù) )()()(sUssGam??解： )()()()( 21 tMKtuKtdttdTCammm ??? ??二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 39 根據(jù)線性疊加原理，分別研究 到 和 到 的傳遞函數(shù) )(tm?)(tU a)(tM c )(tm?1)()()( 1???sTKsUssGmam?1)()()( 2????sTKsMssGmcmm?二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 40 )()()(1)(1)(1)(1)]([)(2121112111ttsMsTKLsUsTKLsMsTKsUsTKLsLtcmamcmammm??????????????????????????????????????電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速 在電樞電壓 和負(fù)載轉(zhuǎn) 矩同時(shí)作用下的響應(yīng)特性為： )(tm? )(tUa )(tMc二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 41 傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) （ 1）傳遞函數(shù)表示形式為： ? ?? ?????????????????????????njjmiinmnnnnmmmmpszsKpspspsazszszsbasasasabsbsbsbsRsCsG11*21021011101110)()()())(()())(()()()(????二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 42 上式中， (i=1,2,...,m)是傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； (j=1,2,...,n)是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)； 為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。 解 RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程用式 (21)表示為 在零初始條件下 ， 對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換 ，并令 ， 可得 s的代數(shù)方程為 0 ( ) / ( )iU s U s20002( ) ( ) ( ) ( )id u t d u tLC R C u t u td t d t? ? ?00( ) [ ( ) ] , ( )iU s L u t U s?? [ ( )]iL u t2 0( 1 ) ( ) ( )iL Cs R Cs U s U s? ? ?36 二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 由傳遞函數(shù)定義，網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為： 02( ) 1()( ) 1iUsGsU s LG s R C s?? ??故將微分方程的算符 d/dt用復(fù)數(shù) s置換便得到傳遞函數(shù)；反之，將傳遞函數(shù)多項(xiàng)式中的變量 s用算苻 d/dt置換便得微分方程。 在例 5中 ， 徽分方程的特征根 ， 故 其共軛復(fù)模態(tài)是 與 ， 或 與 ， 而微分方程的齊次通解是 0 . 5 0 . 8 6 6j? ? ? ?( 0 .5 0 .8 6 6 )jte ??( 0 .5 0 .8 6 6 )jte ? cos 0 . 8 6 6tet? si n 0 . 8 6 6tet?0. 5 0. 50 ( ) 0. 17 3 si n 0. 86 6 0. 1 c os 0. 86 6ttu t e t e t????31 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 由給定的初始條件 可求得 故得 這個(gè)結(jié)果與例 5中解 的零輸入分量 是一致的 0 ()ut0 . 5 0 . 50 1 2( ) si n c os ttu t c e t c e t????120 .1 7 3 , 0 .1 ,cc??0. si n( 66 30 )tet?? ?0 ( 0) , ( 0) V i A??32 二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 —— 傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念 頻率法、根軌跡法 33 傳遞函數(shù)的定義與性質(zhì) （ 1）定義 傳遞函數(shù) ：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 （ 1）如果 n階微分方程的特征根 無(wú)重根 ，分別為 ， 則有運(yùn)動(dòng)的模態(tài)為： 等函數(shù)； n??? ???, 21ttt neee ??? , 21 ???一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 29 （ 2）如果 n階微分方程的特征根中有多重根 ? 則有運(yùn)動(dòng)的模態(tài)為： 等函數(shù)； ???tt ette ?? 2,（ 3）如果 n階微分方程的特征根中有共軛復(fù)根 ??? j??則有運(yùn)動(dòng)的模態(tài)為： 和 ，或 寫成 和 tje )( ?? ? tje )( ?? ?te t ?? si n te t ?? c o s一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 30 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 在數(shù)學(xué)上 ， 線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成 。 0xx?00 0 0()( ) ( ) ( ) ( )xd f xy y f x f x x xdx? ? ? ? ?y? 00( ) ( )y y f x f x? ? ?0( ( ) / ) xK d f x d x?y K x? ? ??0( ( ) / ) xK d f x d x?0x x x? ? ?28 運(yùn)動(dòng)的模態(tài) 運(yùn)動(dòng)的模態(tài) ：是由 n階微分方程的特征根所決定的，代表自由運(yùn)動(dòng)的振型函數(shù)。 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 26 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù) y=f(x)， 如下圖 ， 取某平衡狀態(tài) A為 工作點(diǎn) ， 對(duì)應(yīng)有； 當(dāng)時(shí) ， 有 。 25 非線性元件微分方程的線性化 －－切線法或小偏差法 切線法或小偏差法 ： 是在一個(gè)很小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替。00 0 02() ( ) ( 0 ) ( 0 )d u tL s U s s u udt??? ? ?????39。 )()()()(22tftcdt tdcdt tcd ???例如：有線性微分方程 若 時(shí)，解為： )()(1 tftf ? )(1 tc若 時(shí)，解為： )()(2 tftf ? )(2 tc一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 16 可疊加性 ： 當(dāng) 時(shí)， 微分方程的解為 均勻性 ： 當(dāng) 時(shí)， A為常數(shù)， 微分方程的解 )()()( 21 tftftf ??)()()( 21 tctctc ??)()( 1 tAftf ?)()( 1 tActc ?一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 17 線性定常微分方程的求解 直接求解法：通解 +特解 自由解 +強(qiáng)迫解 (零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng) ) 變換域求解法： Laplace 變換方法 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 18 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 例 5 在上第二例中，若已知 L=1H， C=1F， R=1Ω ，且電容上初始電壓 ，初始電流 i（ 0）＝ ，電源電壓 ，試求電路突然接通電源時(shí)，電容電壓 的變化規(guī)律。 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 11 控制系統(tǒng)微分方程的建立 基本步驟： 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 （ 1）由系統(tǒng)原理圖畫出系統(tǒng)方框圖或直接確定 系統(tǒng)中各個(gè)基本部件（元件） （ 2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前后連接的兩個(gè)元件中，后級(jí)元件對(duì)前級(jí)元件的負(fù)載效應(yīng) （ 3）消去中間變量 12 舉例 4： 速度控制系統(tǒng)的微分方程 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 13 控制系統(tǒng)的主要部件（元件）：給定電位器、 運(yùn)放 運(yùn)放 功率放大器、直流電動(dòng)機(jī)、減速器、 測(cè)速發(fā)電機(jī) 運(yùn)放 1 121111 ,)( RRKuKuuKuefg ????運(yùn)放 2 12211122 ,)( RRKCRudtduKu ???? ??功放 23 uKu a ?直流電動(dòng)機(jī) CCammmm MKuKdtdT ???? ??一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 14 減速器（齒輪系 ） mi ??1?測(cè)速發(fā)電機(jī) ?tt Ku ?消去中間變量 mat uuuu ?21CCggggm MKuKdtduKdtdT ???????? ??得微分方程如下： （其中系數(shù)由已知參數(shù)構(gòu)成） 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 15 線性系統(tǒng)的特性 線性系統(tǒng) 是指用線性微分方程描述的系統(tǒng)，其重要性質(zhì)是可以應(yīng)用疊加原理。 解 ：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律有 )()()()()()()(2122tKxdttdxftFtFtFtFdttxdm??????式中 F1（ t）是阻尼器的阻尼力， F2（ t）是彈簧反力 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 10 )()()()(22tutudt tduRCdttudLCrCCC ???)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm ??? 比較 : RLC電路運(yùn)動(dòng)方程與 MSD機(jī)械系統(tǒng) 運(yùn)動(dòng)方程 相似系統(tǒng) ：揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。 解： )(tui )(tuo)()()(1)( tutRidttiCdt tdiL i??? ?dttiCtu o ?? )(1)()()()()(22tutudt tduRCdt tudLC iooo ???消去中間變量得： 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 9 例 3：圖示 彈簧 質(zhì)量 阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。 6 例 1: 圖示電樞控制直流 電動(dòng)機(jī)原理圖，列出 以 為輸入量， 為輸出量的微分方程。 5 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 主要著重研究描述線性、定常、集總參量控制系統(tǒng)的微分方程的建立和求解方法。1 2 一、控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型 二、控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 三、控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖 本章內(nèi)容： 數(shù)學(xué)模型 時(shí)域模型 頻域模型 方框圖和信號(hào)流圖 狀態(tài)空間模型 3 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 模型 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 建模方法 分析法 實(shí)驗(yàn)法 4 本章要求 : 了解建立系統(tǒng)微分方程的一般方法； 掌握運(yùn)用