【正文】 產(chǎn)生的磁通量 由于激磁電流是恒定的 , 所以磁通量也恒定 , 感應(yīng)電勢僅取 決于轉(zhuǎn)速 , 并可表示為 : )3()()( tCtE mea ??式 (3)中 , eC為反電勢系數(shù) . 電動機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩 )(tMm是激磁磁通和電樞電流 )(tia 的正比函數(shù) , 由于激磁磁通恒定 , 故 )(tMm可表為 : )4()()( tiCtM amm ?式 (4)中 , mC為電動機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) . 將式 (1),(2),(3),(4)聯(lián)立得 : 消去中間變量 ?????????????????)4()()()3()()()2()()()()()1()()()()(tiCtMtCtEtMtMtfdttdJtutEtiRdttdiLammmeaCmmmmmaaaaaa???)(),(),( tMtEti maa 得電動機(jī)輸入輸出方程為 : )5()()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLCaCaammemmammamamma??????? ???如果電動機(jī)的輸出軸配有滾珠軸承并涂高效潤滑油 , 則粘 性摩擦系數(shù) mf可忽略不計 , 如果電動機(jī)輸出軸不帶負(fù)載 , 即 0)( ?tM C則式 (5)可簡化為 : 若令 : )6()()()()(22 tuCtCCdt tdJRdt tdJL ammemmmamma ??? ???emmam CCJRT ? 為機(jī)電時間常數(shù) , aaa RLT ? 為電樞回路時間常數(shù) 則式 (6)可寫為 : )7()(1)()()(22tuCtdt tdTdt tdTT aemmmmma ??? ???有式 (7)可知 , 當(dāng)電動機(jī)的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后 , )(tm? 不再變化 , 則 0)()(22 ?? dt tddt td mm ?? , 從而 )8()(1)( tuCt aem ??,式 (8)中 eC1是電動機(jī)的傳遞系數(shù) . 由于電動機(jī)中的電樞回路有一個儲能 元件 aL,并且轉(zhuǎn)動部分有慣性 , 故描寫電動機(jī)的微分方程式 (7) 的左端必為二階微分 , 且有二個時間常數(shù) . 如果電動機(jī)電樞回路中的電感很小 , 即電樞回路時間常數(shù) aT很小可忽略不計 , 則式 (7)可簡化為 : 二階微分方程簡化為一階微分方程 , 給數(shù)學(xué)處理帶來很大 的方便 , 近一步 , 如電動機(jī)為小型電動機(jī) , 其轉(zhuǎn)動部分的 )9()(1)()( tuCtdt tdT aemmm ?? ??轉(zhuǎn)動慣量 mJ很小 , 從而機(jī)電時間常數(shù) mT很小可忽略不計 ,則 式 (9)可近一步簡化為 )(1)( tuCt aem ??即式 (8), 成為代數(shù)方程 例 2. 電動機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 測速發(fā)電機(jī) 直流電動機(jī) 激磁回路 constI f ?激磁電流 au電樞電壓 運(yùn)算器 ?VrVeu(1) 確定各環(huán)節(jié)的輸入輸出方程 運(yùn)算器 : 如采用的運(yùn)算器僅起比例放大作用 , 放大倍數(shù)為 aK, 則 ? ? )10()()()( tutuKtueraa ??測速發(fā)電機(jī) : 如采用的是小型測速發(fā)電機(jī) , 則其輸入輸出 方程為 : )11()()( tKtumTe ??式 (11)中 TK為測速發(fā)電機(jī)的傳遞系數(shù) ,電動機(jī)的微分方程 為式 (7). (2) 消去中間變量 聯(lián)立式 (7),式 (10),式 (11), 消去中間變量 )(),( tutu ea 則系統(tǒng) 的微分方程為 : )12()()()1()()(22tuCKtKdt tdTdt tdTT reammmmma ???? ???式 (12)中 eTaCKKK ? 為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)傳遞系數(shù)的乘積 , 稱 為系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù) . 22 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 由 21節(jié)的敘述可知 , 對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)來說 ,描 述其性能的基本數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程 , 其一 般形式為 : )()()()()()()()()1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbtcatcatcatcammmmnnnn?????????????但從分析系統(tǒng)性能的方便與否這一角度衡量 , 微分方程雖 是基本的數(shù)學(xué)模型 , 卻并不是一個使用起來最方便的數(shù)學(xué) 模型 . 因為從微分方程出發(fā)分析系統(tǒng)的性能 , 就必須求出 微分方程的解 )(tc , 而對于階數(shù)大于 2的微分方程來說 , 求 解并非易事 . 其次 , 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化后對系統(tǒng)性能的影響 也很難從微分方程本身及其解中很容易地看出來 , 這就對 分析系統(tǒng)尤其是綜合系統(tǒng)帶來很大的困難 . 對于解高階微分方程的困難 , 可用拉氏變換 , 將微積 分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算 , 求出微分方程的解 . 從而人們設(shè)想 , 能否利用拉氏變換這一工具 , 不解 微分方程 , 就能知道系統(tǒng)的性能 , 甚至當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化 后 , 也能方便地看出它對系統(tǒng)性能的影響呢 ? 這就引出 了傳遞函數(shù)概念 . 傳遞函數(shù)在古典自控理論中是一個很 重要的函數(shù) , 古典自控理論的兩大分支 , 根軌跡法和頻 率法 , 就是在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的 . 1. 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 例 : 一 RC電路如下圖所示 , 設(shè)在開關(guān) K閉合的瞬間時刻 RCKru Cu作為計時起點(diǎn) , 即 t=0, 且此 時電容兩端的電壓為 )0(Cu開關(guān) K閉合后不再打開 , 則 在 RC電路輸入端加了一恒定的電壓 , 其幅值為 ruRC電路的微分方程為 : 令 )13()()()( tutudt tduRC rCC ??RCT ? 為 RC電路的時間常數(shù) , 則式 (13)為 : )14()()()( tutudt tduT rCC ??對式 (14)兩邊進(jìn)行拉氏變換 , 得 : )15()()()0()( sUsUTUsT s U rCCC ???式 (15)中 ? ? ? ?)()(,)()( tuLsUtuLsUrrCC ??, 而 )16()0(1)(11)( CrC UTs TsUTssU ????因為 )(tur是幅值為 ru的階躍電壓 , 故 susU rr ?)(代入式 (16), 得 : )17()0(1)1()( CrC UTs TTss usU ????對式 (17)兩邊進(jìn)行拉氏反變換 , 得 : 上式中等式右邊第一項是在電容兩端的初始電壓 )18()0()1()( TtCTtrC eueutu ?? ???0)0( ?Cu由輸入電壓 )(tur激勵下的輸出分量 , 也叫零初始條件響應(yīng) , 第二項是由初始條件 )0(Cu 激勵下的輸出分量 , 也叫零輸入 響應(yīng) . 如令 0)0( ?Cu , 即初始條件為零 , 則式 (16)為 )(11)()()19()(11)(sGTssUsUsUTssUrCrC?????把 )(sG 叫所舉例中 RC電路的傳遞函數(shù) , 從而 RC電路可 用下面方塊圖表示 : )(sG)(sUr )(sUC由上例 , 可得系統(tǒng) (或環(huán)節(jié) )的傳遞函數(shù)的如下定義 : 設(shè)單輸入 單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 : )()()()()()()()()1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbtcatcatcatcammmmnnnn?????????????當(dāng)初始條件為零時 , 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換表達(dá)式與系統(tǒng) 輸入量的拉氏變換表達(dá)式之比 , 稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) , 其一般表達(dá)式為 : )20()( )()( )()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm????? ????????????下面給出傳遞函數(shù)的若干性質(zhì) : 1) 傳遞函數(shù)是兩個復(fù)變量 s的有理多項式之比 , 且 m=n 即傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s的有理真分式函數(shù) , 具有復(fù)變函 數(shù)的所有性質(zhì) . 兩個多項式中的所有系數(shù)均為實數(shù) . 2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù) , 而與 系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號的形式和大小無關(guān) . 3) 傳遞函數(shù)的分母 稱為 nnnn asasasasN ????? ?? 1110)( ?系統(tǒng)的特征多項式 ,如令分母 01110 ????? ?? nnnn asasasa ?則叫系統(tǒng)的特征方程 , 特征方程的根叫系統(tǒng)的極點(diǎn) , 也 叫傳遞函數(shù)的極點(diǎn) , n叫系統(tǒng)的階數(shù) , 如令傳遞函數(shù)的分子 0)( 1110 ?????? ?? mmmm bsbsbsbsM ?求得的根叫系統(tǒng)的零點(diǎn) , 也叫傳遞函數(shù)的零點(diǎn) . 從而 ???????????????? njjmiinmpszsKpspspsazszszsb