【正文】 , 則列 寫(xiě)它們的微分方程就很困難 , 從而求傳遞函數(shù)也就不簡(jiǎn) 單 . 一種簡(jiǎn)便的方法就是利用結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖 . 控制 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖都是描述系統(tǒng)各元部件之間信 號(hào)傳遞的數(shù)學(xué)圖形 , 它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因 果關(guān)系以及對(duì)各變量所進(jìn)行的運(yùn)算 . 結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖 的本質(zhì)是代數(shù)方程組各變量之間的關(guān)系的一種圖形表示 . 一 . 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成 例 : 一 RC網(wǎng)絡(luò)如下圖所示 , 畫(huà)出它的結(jié)構(gòu)圖 . )(tui )(tuoC1R)(ti)(1 ti)(2 ti2R畫(huà)結(jié)構(gòu)圖的過(guò)程為 : 1. 列寫(xiě)出 S域的代數(shù)方程組 ???????????????)4()()()()3()(1)()2()()()1()()()(2111220011sIsIsIRsICssIRsIsUsURsIsUi2. 由代數(shù)方程組畫(huà)結(jié)構(gòu)圖 . )(sUi)(sUo1/1 R)(1 sI1R Cs)(2 sI)(1 sI)(sI2R)(sUo控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖由四種基本單元組成 : (1) 信號(hào)線 , 如下圖所示 : )(),( sUtu信號(hào)線是帶有箭頭的直線 , 箭頭表示信號(hào)的流向 , 在直線旁 標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或時(shí)間函數(shù)的拉氏變換表達(dá)式 . (2) 引出點(diǎn) (或測(cè)量點(diǎn) ), 如下圖所示 : )(),( sUtu)(),( sUtu引出點(diǎn)表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置 , 從同一 位置引出的信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同 . (3) 比較點(diǎn) (或綜合點(diǎn)或加減點(diǎn) ), 如下圖所示 : )(),( sUtu)(),( sRtr?)()()。 (2) 符合要求的瞬態(tài)響應(yīng) , 即系統(tǒng)的瞬態(tài)質(zhì)量 , 也叫系統(tǒng)的過(guò)渡 過(guò)程性能 。 (3) 符合要求的控制精度 , 即對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的要求 . 因此在工程上無(wú)非是對(duì)已有的控制系統(tǒng)分析它的穩(wěn)定性 , 瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差 , 或根據(jù)用戶提出的穩(wěn)定性 , 瞬態(tài)性能和 穩(wěn)態(tài)誤差的定量指標(biāo)設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的控制系統(tǒng) , 如下圖所 示 : 控 制 系 統(tǒng) 穩(wěn)定性 瞬態(tài)性能 穩(wěn)態(tài)誤差 分析 設(shè)計(jì) (綜合 ) 對(duì)于 分析或設(shè)計(jì)一個(gè)控制系統(tǒng) , 不能只滿足于定性的分析或 設(shè)計(jì) , 而往往要求進(jìn)行定量的分析或設(shè)計(jì) , 為此第一步的工 作就需求出系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型 , 進(jìn)而獲得系統(tǒng)的數(shù) 學(xué)模型 . 2. 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 , 是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量 (或變 量 )之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 , 時(shí)域中數(shù)學(xué)模型的基本形式是微 分方程 ,而對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)其最基本的時(shí)域數(shù)學(xué)模型為 常系數(shù)線性微分方程 ,其一般形式可表為 : )()()()()()()()()1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbtcatcatcatcammmmnnnn?????????????下面通過(guò)一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明建立數(shù)學(xué)模型的一般原則和 方法及步驟 . 例 1. 直流電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型 直流電動(dòng)機(jī)是在控制系統(tǒng)中常用的一種裝置 , 其示意 圖如下所示 : constI f ?)(tua??)(tEaaRaL)(tia)()( tort m??直流電動(dòng)機(jī) )(tua)(tMC)(t?)(tm?(1) 確定直流電動(dòng)機(jī)的輸入量和輸出量 上圖表明 , 直流電動(dòng)機(jī)的激磁電流 constI f ? , 從而 磁場(chǎng)恒定不變 . 電機(jī)的轉(zhuǎn)速與電樞電壓 )(tua大小有關(guān) , 與負(fù)載力矩 )(tMC的大小有關(guān) . 因此輸入量有兩個(gè) ,一個(gè) 是電樞電壓 )(tua , 另一個(gè)是負(fù)載力矩 )(tMC輸出量一個(gè) , 即轉(zhuǎn)速 或角位移 )(tm? )(t?(2) 列寫(xiě)原始方程式 將電動(dòng)機(jī)分解成二個(gè)更簡(jiǎn)單的部分 , 一個(gè)是電樞回路部 分 , 另一個(gè)是機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)部分 . 由基爾霍夫定律 , 電樞回路部 分原始方程為 : )1()()()()( tutEtiRdt tdiL aaaaaa ???式 (1)中 , )(tEa是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的一個(gè)與 )(tua方向相反的 感應(yīng)電勢(shì) . 根據(jù)力矩平衡原理 , 機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)部分的運(yùn)動(dòng)方程為 )2()()()()( tMtMtfdt tdJ Cmmmmm ??? ??式 (2)中 , )(tMm 是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩 , mJ是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量 . mf 是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘 性摩擦系數(shù) . (3) 消去中間變量 從式 (1)和式 (2)中可見(jiàn) , )(),(),( tMtEti maa 是中間變量 , 要 消去它們 , 就要找出中間變量與其它因素間的關(guān)系 . 感應(yīng) 電勢(shì) )(tEa正比于轉(zhuǎn)速 )(tm?和激磁電流 fI產(chǎn)生的磁通量 由于激磁電流是恒定的 , 所以磁通量也恒定 , 感應(yīng)電勢(shì)僅取 決于轉(zhuǎn)速 , 并可表示為 : )3()()( tCtE mea ??式 (3)中 , eC為反電勢(shì)系數(shù) . 電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩 )(tMm是激磁磁通和電樞電流 )(tia 的正比函數(shù) , 由于激磁磁通恒定 , 故 )(tMm可表為 : )4()()( tiCtM amm ?式 (4)中 , mC為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù) . 將式 (1),(2),(3),(4)聯(lián)立得 : 消去中間變量 ?????????????????)4()()()3()()()2()()()()()1()()()()(tiCtMtCtEtMtMtfdttdJtutEtiRdttdiLammmeaCmmmmmaaaaaa???)(),(),( tMtEti maa 得電動(dòng)機(jī)輸入輸出方程為 : )5()()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLCaCaammemmammamamma??????? ???如果電動(dòng)機(jī)的輸出軸配有滾珠軸承并涂高效潤(rùn)滑油 , 則粘 性摩擦系數(shù) mf可忽略不計(jì) , 如果電動(dòng)機(jī)輸出軸不帶負(fù)載 , 即 0)( ?tM C則式 (5)可簡(jiǎn)化為 : 若令 : )6()()()()(22 tuCtCCdt tdJRdt tdJL ammemmmamma ??? ???emmam CCJRT ? 為機(jī)電時(shí)間常數(shù) , aaa RLT ? 為電樞回路時(shí)間常數(shù) 則式 (6)可寫(xiě)為 : )7()(1)()()(22tuCtdt tdTdt tdTT aemmmmma ??? ???有式 (7)可知 , 當(dāng)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后 , )(tm? 不再變化 , 則 0)()(22 ?? dt tddt td mm ?? , 從而 )8()(1)( tuCt aem ??,式 (8)中 eC1是電動(dòng)機(jī)的傳遞系數(shù) . 由于電動(dòng)機(jī)中的電樞回路有一個(gè)儲(chǔ)能 元件 aL,并且轉(zhuǎn)動(dòng)部分有慣性 , 故描寫(xiě)電動(dòng)機(jī)的微分方程式 (7) 的左端必為二階微分 , 且有二個(gè)時(shí)間常數(shù) . 如果電動(dòng)機(jī)電樞回路中的電感很小 , 即電樞回路時(shí)間常數(shù) aT很小可忽略不計(jì) , 則式 (7)可簡(jiǎn)化為 : 二階微分方程簡(jiǎn)化為一階微分方程 , 給數(shù)學(xué)處理帶來(lái)很大 的方便 , 近一步 , 如電動(dòng)機(jī)為小型電動(dòng)機(jī) , 其轉(zhuǎn)動(dòng)部分的 )9()(1)()( tuCtdt tdT aemmm ?? ??轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 mJ很小 , 從而機(jī)電時(shí)間常數(shù) mT很小可忽略不計(jì) ,則 式 (9)可近一步簡(jiǎn)化為 )(1)( tuCt aem ??即式 (8), 成為代數(shù)方程 例 2. 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 測(cè)速發(fā)電機(jī) 直流電動(dòng)機(jī) 激磁回路 constI f ?激磁電流 au電樞電壓 運(yùn)算器 ?VrVeu(1) 確定各環(huán)節(jié)的輸入輸出方程 運(yùn)算器 : 如采用的運(yùn)算器僅起比例放大作用 , 放大倍數(shù)為 aK, 則 ? ? )10()()()( tutuKtueraa ??測(cè)速發(fā)電機(jī) : 如采用的是小型測(cè)速發(fā)電機(jī) , 則其輸入輸出 方程為 : )11()()( tKtumTe ??式 (11)中 TK為測(cè)速發(fā)電機(jī)的傳遞系數(shù) ,電動(dòng)機(jī)的微分方程 為式 (7). (2) 消去中間變量 聯(lián)立式 (7),式 (10),式 (11), 消去中間變量 )(),( tutu ea 則系統(tǒng) 的微分方程為 : )12()()()1()()(22tuCKtKdt tdTdt tdTT reammmmma ???? ???式 (12)中 eTaCKKK ? 為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)傳遞系數(shù)的乘積 , 稱 為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù) . 22 控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型 由 21節(jié)的敘述可知 , 對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō) ,描 述其性能的基本數(shù)學(xué)模型是常系數(shù)線性微分方程 , 其一 般形式為 : )()()()()()()()()1(1