【正文】 離散系統(tǒng)的基本概念及表示方法 D(z) H(s))( tx )( tyx * (t) y* (t)T 0G 0 (s)采樣器 保持器為了進(jìn)行分析，表示成方塊圖： 用采樣器代替 A/D 用保持器代替 D/A D(z))( tx x*(t ) y *(t )T 0G (s)T 0簡化： 把保持器和被控對象連續(xù)部分合并G(s)=H(s)G0(s) 在簡化后，為了分割離散部分和連續(xù)部分，此處加入一個采樣開關(guān) (2)混合離散系統(tǒng)：系統(tǒng)同時包含離散信號和連續(xù)信號 A/D 數(shù)字信號 處理器 D/A)( tx )( snTx )( snTy )( tyx*(t ) y *(t ) 被控對象開環(huán)離散控制系統(tǒng)： 離散 連續(xù) 連續(xù) 其控制信號、反饋信號經(jīng)過采樣器離散化，得到離散的偏差信號。 )( nx )]([ nxT )( ny(1)純離散系統(tǒng)：輸入和輸出都是離散信號 例如：下圖的三點加權(quán)平均器。相當(dāng)于單位脈沖函數(shù)在離散系統(tǒng)中的重要性 ))( tn ???(3)正弦序列 )s i n ( )s i n ( )2s i n ()(????????????nAnTAf n TAnxss其中， r a dTsr a dfr a dsTHzfAss圓頻率，單位角頻率，單位初相位，單位采樣周期，單位信號頻率，單位信號幅值:/:2::::?????????? 22 到從到從變換時，到由當(dāng)?????????f(4)復(fù)正弦序列 )s i n ()c o s ()( njnenx tj ??? ???(5)指數(shù)序列 1|a| ,)( || ?? nanx(1)延遲 個序列左移＋個序列右移knxknxnyknxknxny)( )()()( )()(21????????????kknkxnxnxknnxkxknx )()()()( )()()()(??可表示為整個序列的值表示為在時刻延遲在數(shù)字電路中由移位寄存器實現(xiàn) (2)相乘與相加 )()()()()()(2121nxnxnynxnxnx??? 相同時刻的值相加或相乘 (3)離散信號 卷積 ???????kkxknxny )()()( 21離散信號的一種 有用的表達(dá)方式 離散信號的基本運(yùn)算 離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)最大的區(qū)別在于所處理的信號是離散信號。 A/D板的字長越長，抽樣速度越快，價格越高。 用 12位字長的的 A/D板，分辨率位 5/212=。 A/D板的技術(shù)指標(biāo)： 字長和最大抽樣速度 。 21 ,1,0,1, ),( NNnnTx s ?? ???離散信號 ：若 t在時間軸的離散點上取值，則 x(t)稱為離散時間信，記為： 也可以記為 x*(t) 連續(xù)信號 數(shù)字信號離散信號采樣 幅值數(shù)字化( 由采樣開關(guān)實現(xiàn)) (A/D)A/D轉(zhuǎn)換 數(shù)字信號 連續(xù)信號離散信號幅值模擬化 幅值保持(D/A) ( 由保持器實現(xiàn))D/A轉(zhuǎn)換 目前，在信號處理中，把離散信號和數(shù)字信號作為兩個相同的概念。 其中 Ts表示相鄰兩點間的時間間隔，即抽樣周期。 非線性系統(tǒng)的定義和特點 假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為 x(t)， 輸出量為 y(t),且滿足關(guān)系： )(xfy ????????? 222 )(!21)()()( xxdx fdxxdxdfxfxfy如果系統(tǒng)在給的某一額定工作狀態(tài) 的附件作微小變化時，那么在 ),( yx該點上的泰勒級數(shù)為 式中導(dǎo)數(shù) 很?。c上計算，若是在 xxxxdx fddxdf ??, , 22,可忽略高階項，有 即 )( xxkyy ???)( xxkyy ??? 式中 xxdxdfkxfy??? ),(單變量非線性系統(tǒng)的線性化 附近的線性化模型 ),( yx非線性系統(tǒng) )(xfy ? 在工作點 假設(shè)非線性系統(tǒng)的輸入量為 x1(t)， x2(t)， 輸出量為 y(t),且滿足關(guān)系： ),( 21 xxfy ??????????????????????????????????????222222221121221121222211121)())((2)(!21 )()(),(xxxfxxxxxxfxxxfxxxfxxxfxxfy在某一額定工作點 ),(21 xx展開為泰勒級數(shù)： 式中偏導(dǎo)數(shù)是在 1111 , xxxx ?? 上計算 ,忽略高階項，有 )()( 222111 xxkxxkyy ?????式中 22112211 ,21,1121 , ),(xxxxxxxx xfkxfkxxfy???? ???????在工作點 附近的線性化模型 非線性系統(tǒng) ),( 21 xxfy ?),( 21 xx自學(xué)課本 p22 例 112，更正見教材 多變量非線性系統(tǒng)的線性化 167。 前提是系統(tǒng)在某個工作點附近一個很小的領(lǐng)域內(nèi)近似線性。 代表性曲線有： 輸出輸入飽和非線性輸出輸入死區(qū)非線性輸出輸入平方率非線性難點 ：對包含非線性問題的求解過程非常復(fù)雜。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一、 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 二、 傳遞函數(shù)與方塊圖 三、 狀態(tài)空間模型 四、 狀態(tài)空間分析法 五、 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 (只介紹基本概念 ) 五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 非線性系統(tǒng)的定義和特點 單變量非線性系統(tǒng)的線性化 多變量非線性系統(tǒng)的線性化 定義 ：用非線性方程表示的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)，如： tAxyxzxyxy ?s i n)x(x , , ,s i n 2222 ??????? ???特點 ：不滿足疊加原理。 ? 狀態(tài)變換及狀態(tài)變量的非唯一性（了解） 上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點（二） ? 傳遞矩陣的定義及計算。 以各方框單元的輸出變量和系統(tǒng)總輸出變量的一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量。 ? 由方框圖直接寫狀態(tài)空間表達(dá)式。 0 0( ) 1 0tutt??? ???2－ C 試判斷下面系統(tǒng)的能控性 ? ? ? ?? ?120 1 0 ()1 0 1xt utxt??? ? ? ?????? ? ? ??? ? ? ???Xt上節(jié)課內(nèi)容回顧及重點（一） ? 介紹了多輸入多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式 ? 由微分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式， 重點是狀態(tài)變量的選取。 )(10)(00 10)( tutXtX ???????????????例 判斷下面系統(tǒng)的能控性和能觀性 ? ? )(10)( tXtY ?解 :因為 ??????????????????????????? 011000 10 10 ABB所以 ???????? 01 10]|[ ABBG則 2)( ?Gra n k 系統(tǒng)能控 又 因為 ??????????????????????????? 001001 00 10 TTT CAC所以 ???????? 01 00]|[ TTT CACH則 21)( ??Hr a n k 系統(tǒng)不能觀 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 假設(shè)一個 n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： )()()( tBUtAXtX ???則系統(tǒng)的特征方程為： 0|| ?? AsI其特征值為： nsss , 21 ?穩(wěn)定性的充分必要條件 ： 所有特征值位于 s平面的左半平面 系統(tǒng)微分方程方框圖狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)響應(yīng)能控性分析能觀性分析穩(wěn)定性分析系統(tǒng) 系統(tǒng)分析建立數(shù)學(xué)模型（傳遞矩陣）（線性化）連續(xù)系統(tǒng)分析過程框圖 第三次作業(yè) 24,25,26 補(bǔ)充作業(yè)： 2A: 對于線性定常系統(tǒng)，試證明狀態(tài)變換不改變系統(tǒng)的傳遞矩陣。 充分必要條件 ：下面 ? ? nCACACACr a n k TnTTTTT ?? 12T )(| |)(| | ?nnmn 階矩陣的秩為?? 能控性表示系統(tǒng)的控制變量和狀態(tài)變量的關(guān)系。如果系統(tǒng)在有定義的時間區(qū)間上的每一時刻都可觀測的，則稱系統(tǒng)為具有完全能觀性。即在有限的時間內(nèi)，控制變量能夠使?fàn)顟B(tài)變量從任意的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。如果系統(tǒng)在有定義的時間區(qū)間上的每一時刻都可控，則稱系統(tǒng)為具有完全可控性。本節(jié)重點介紹 拉氏變換法 。 基本手段是線性代數(shù)方法 求解狀態(tài)方程 狀態(tài)空間分析法的基本任務(wù)就是通過求解狀態(tài)方程，得到系統(tǒng)在時域內(nèi)的時間響應(yīng)函數(shù)。 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 一、 經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型 二、 傳遞函數(shù)與方塊圖 三、 狀態(tài)空間模型 四、 狀態(tài)空間分析法 五、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 四、狀態(tài)空間分析法 求解狀態(tài)方程（求系統(tǒng)的時間響應(yīng)） 系統(tǒng)的能控性和能觀性分析。對于此單輸入輸出系統(tǒng)，傳遞矩陣與傳遞函數(shù)是等價的。 G (s ) Y (s )U (s )如圖所示的閉環(huán)系統(tǒng)，已知 G (s )Y( s)U (s )圖1 1 8H( s)B (s )E (s )+mpsHpmsGpsEpsBmsYpsU??????反饋通道傳遞矩陣前向通道傳遞矩陣誤差信號向量反饋信號向量輸出信號向量輸入信號向量:)(:)(1:)(1:)(1:)(1:)(則 )]()()()[()]()()[()()()( sYsHsUsGsBsUsGsEsGsY ?????所以 )()()()]()([ sUsGsYsHsGI ??如果 )()( sHsGI ? 非奇異，則 )()()]()([)( 1 sUsGsHsGIsY ???所以圖 1－ 18閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為 )()]()([)( )()( 1 sGsHsGIsU sYsG c ????（ 2）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣 )()(1)()()()(sHsGsGsUsYsGc ???函數(shù)單輸入輸出系統(tǒng)的傳遞假設(shè)一個 n階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： ???????)()()()()()(tDUtCXtYtBUtAXtX?在初始條件為零時進(jìn)行拉氏變換 ： ???????)()()()()()(sDUsCXsYsBUsAXssX所以 )(])([)( 1 sUDBAsICsY ??? ?則可得傳遞矩陣為 DBAsICsU sYsG ???? ? 1)()( )()()(][)( 1 sBUAsIsX ???非奇異AsI ?（ 3）由狀態(tài)空間表達(dá)式求傳遞矩陣 解： (分析）用方框圖簡化方法求傳遞函數(shù)比較復(fù)雜。 當(dāng) p=m=1時，傳遞矩陣 G(s)成為單輸入輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 因此，傳遞矩陣 G(s)也叫廣義傳遞函數(shù)。 ? 狀態(tài)變換不影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、能控性和能觀性等系統(tǒng)基本性質(zhì) 。 ? 不同的狀態(tài)向量對應(yīng)不同的狀態(tài)方程。 ? 對同一系統(tǒng)，采用不同的非奇異矩陣 Q進(jìn)行狀態(tài)變換 就可以得到不同的狀態(tài)向量。 ? 用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)時，狀態(tài)空間表達(dá)式與所選的狀態(tài)變量有關(guān)。得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。 以各 方框單元的輸出變量 和 系統(tǒng)總輸出變量的一階導(dǎo)數(shù) 作為狀態(tài)變量。 ? 利用方框圖直接求解狀態(tài)空間表達(dá)式要比較簡單。 ? 對于簡單系統(tǒng)的方框圖，可以求出系統(tǒng)變換傳遞函數(shù)，然后利用拉氏反變換求出系統(tǒng)微分方程，再寫出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。 ????????????????????????uhxaxaxaxuhxxuhxxuhxxnnnnnnnn121111232121??????（ 3） 則狀態(tài)方程為： 根據(jù)上述分析，可以假設(shè)狀態(tài)向量： （ 2） ??????????????????? uhxxuhxxuhxxuhyxnnn 1122311201????把式 (3) 第 n個方程，消去狀態(tài)變量 nixx in ?? ,2,1, ?和uhahahahahuhahahuhahuhyayayaynnnnnnnnnnnn)( )(