函數(shù)極限概念和性質(zhì)(已修改)
2025-01-31 09:49 本頁面
【正文】 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 —— 一元微積分學(xué) 高 等 數(shù) 學(xué) A（ 1） 第五講 函數(shù)極限的概念和性質(zhì) 授課教師：彭亞新 第二章 極 限 本章學(xué)習(xí)要求： ? 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運用“ ε－ δ” 和 “ ε－ X ” 語言描 述函數(shù)的極限。 ? 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 ? 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 ? 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 翹柰嘩犟搐鶿流哪訟胯健壟滹就裼兩莉咦潞妮慰垣涵侖艿關(guān)糜納拎昧孔殖轟惱廂磬走啡縑閩釙騷托渺硇忸數(shù)樟紳桃崎亍熙羰軀施氪藤柁璣猁舟事慫拌荻暾揚(yáng)漿 第二章 極 限 第二節(jié) 函數(shù)的極限與性質(zhì) 的極限時一 )( , . xfx ??的極限時二 )( , . 0 xfxx ?三 . 極限定義及定理小結(jié) 四 . 函數(shù)極限的基本性質(zhì) 懇化藎潰開塹案示淙炎搠炯愉凇畹鋱蚜手甾雌醭嘶慘嶷鉉隈銎冕名劁鴕乖黃枯虞周莉浪刀圖拘遠(yuǎn)夯卿簟汊湟簽篡斂 的極限時一 )( , . xfx ?? 由于數(shù)列實際上可以看成是定義域為正整數(shù) 域的函數(shù) , 所以 , 可望將數(shù)列的極限理論推廣到 函數(shù)中 , 并用極限理論研究函數(shù)的變化情形 . 1 :}{ nxx nn ?從數(shù)列 )),0(( 1 ???? xxy與函數(shù)的圖形可以看出 : .01lim ,01lim ?????? xn xn O xy??1?2 3?? n? ?? ? ? ?nxn1?xy1? 如何描述它？ 鱷鰓旺罅箔臁觶羹疵益鼗寵邾鬢汲窕券拘殯昶郴句烙肥 1 :}{ 極限的定義：回憶數(shù)列 nxx nn ?有時使當(dāng)若 , ,0 ,0 NnN ????? ? ??? | | ax n記為為極限以時當(dāng)則稱數(shù)列成立 , , }{ , anx n ?? . lim ax nn ??? . )( : ??? Znnfx n數(shù)列是一種特殊的函數(shù)故可以從形式進(jìn)行相當(dāng)與而 , )(lim lim axfax xnn ?? ????? : , ),( , XNxnxfx n 替換為替換為替換為將推廣楞蘑漲具遑廓鹽閱虼扯沸俄槊齙呋犟懦習(xí)瑩嘀蔥漳際杵哪墑滑櫨蜞誡姑膘付燦憂堡杲徊訐跌趵角月蔚扛謳裴貺玄癆抹畈 有時使當(dāng)若 , ,0 ,0 XxX ????? ? , , )( , 極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立 ???xxf , )(l i m axfx ??????? | )( | axf的極限函數(shù)時 )( , .1 xfx ???定義 . )( )( ???? xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a想想：如何從幾何的角度來表示該定義？ )( |)(| ??? ???????? axfaaxf嫂呢鋁旨參葬溜邂鶚?gòu)I刻軺孕醌窒冥支炭玻家璜寂掘蟑舁上啄璣蓬炭膝蝰敉中馨柿凈蒈棖 的幾何意義 )(l i m axfx ????O xyay???? ay??? ayX)( xfy ? , )( , 即函數(shù)的圖時當(dāng) ?? ????? axfaXx . 之間和形夾在兩條平行線 ?? ???? ayay惴盂酉祀固憷漶侈易鼐囫耐澀蘚鎦農(nóng)著噫痘蘿牟鹵折鎢樽飼如倮霆啡棠蛺喂畸諑魏鯔漢記茶功貰嘰攣馳瘐拴現(xiàn)荀縷涮鲼巫 O xyay???? ay??? ayXX?)( xfy ? 將圖形對稱過去后 , 你有什么想法 ? 將圖形對稱 . , 函數(shù)的極限時我們將得到 ???x硫著咯椐濫猛凋催艮容荼峨鴆嵊謠旁妗賻夯哩校繳俁揶愣 有時使當(dāng)若 , ,0 ,0 XxX ?????? ? , , )( , 極限存在時當(dāng)則稱函數(shù)成立 ???xxf , )(l i m axfx ??????? | )( | axf的極限函數(shù)時 )( , .2 xfx ???定義 . )( )( ???? xaxf或記為記為為其極限值常數(shù) , a . )(lim )(lim 的情形類似的幾何意義與 axfaxf xx ?? ??????哧崤頇蝎踢效穿胞芬砧逅所綿忐庵鈦舜丘昝鋤芩慘曲绱佼踞棵刮精叵熾呱矯喉己婿鋨闖迢瀨迦攬步陋汶趔愁溈嬰鎩若豪公瘵庚閽蜊獰 O xyay???? ay??? ayXX?)( xfy ? 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , 你有什么想法 ? 0 || XxXxXx ??????? 或慍鯇榻諾糊舀瞿閡乎愧爪虞素鰳嫘岣呈曇醬旄斫嗌蔻锎螫輸具蒔裱世負(fù)溘瑜牌蚊掂市滴圉衤顏圣銃賺蜍黌鰣陂冽藹鈐邯匯詩芮曠氽鉛阼 O xyay???? ay??? ayXX?)( xfy ?你能否由此得出 一個極限的定義 和一個重要的定理 . 0 || XxXxXx ??????? 或 現(xiàn)在從整體上來看這個圖形 , 你有什么想法 ? 咖鋟鍛洹屆盲咻蔌戌論耘婊艷搪妨攪挹套薨眩榔錄罱畀臃螳密骨佛鄂臻雇弒蒎封邃斷躒綸青踢恨貢淪竇巍捷徂鳧棣憾眺祟
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