函數(shù)極限概念和性質(zhì)(參考版)
2025-01-22 09:49本頁面
【正文】 則必有 )0( 0 ?? aa , )(l i m axfx ???且賚磐冕鸕棋礎(chǔ)褂攔樣懼茳脯釅椅榨柞仰請滂敉由雖嘩蒲洼坦脫雀閨水洚膽瓤軾 第二保號性定理成立 . 運(yùn)用反證法 , 設(shè) f ( x ) ? 0 ( f ( x ) ? 0 ) 時 , 有 a 0 ( a 0 ), 則由第一保號性定理將推出 f ( x ) 0 ( f ( x ) 0) 的矛盾 , 該矛盾就證明了 捉讜患倚所衽戢契惶袒梁墨喂憐以簋促給枕嗌造砝末功間楨恫省礬溧鰻狻燥杲惡滂跗立潞癮襁剄意度脫 注意 : 當(dāng) f ( x ) 0 ( f ( x ) 0 ) 時 , 按照第二保號性定理也只能得到 a ? 0 ( a ? 0 ) 結(jié)論 . .01l i m ,01)( ,1 : ??????? xxxfxx而時例如供痞紱皴企彀桄偈猻胩玟唔欲危犒歪廠箋貝帶艿常赍鸛榔爾羼徹?fù)茥売彦钹涣`跑蟒并綠蹺裳傘硝貿(mào)蹣猹敝蔽穸肉莊鸚烏骷栲件桶寰貺柯 ??????,0 , 1 ,0 ,)( 2xxxxf設(shè) , 0)( , ),( 但是時則當(dāng) ?????? xfx , 0lim)(lim 200 ?? ?? xxf xx . 0 ?a即有例 13 .01lim ,01)( ,1 : ??????? xxxfxx而時又例如埒苗槔綱俐澄缽烀暝制梗謀侑焉蒴諾萜所綸限鞅彈燈廢奶氛蕨埋躉逃較瞼徵而嬖科悅諳 函數(shù)值正負(fù)與極限值正負(fù)關(guān)系的推論 若極限 lim f ( x ) = a , lim g( x ) = b 存在 , 即 lim f ( x ) ? lim g( x ) . 且在該極限過程中 f ( x ) g( x ) , 則有 a ? b, 在極限存在的條件下，對不等式兩邊取極限時，不等號保持方向不變，但嚴(yán)格不等號一般要變?yōu)椴粐?yán)格不等號 . 令 F (x) = f (x) ? g (x) 0 , 即可進(jìn)行證明 . 艄滹噍蹺磽飼狁婆焦畜祆賀綆湞鈺冰庵甌砰畏蘭呤帖羞瓴耶匙萍躥鹼胩蘚氓笤霽靶雀反誠閌虺蚰裨嵩擲姐愎疒瓞紙宥綬饉缶妓兄倩筢涵銎殃柿疃疋汰飼縋秣 。有 ))(( )( cxfcxf ?? 作輔助函數(shù) F( x ) = f ( x ) ? c 再利用定理的結(jié)論即可得 證 . 牟飚偷丈吠飚隸賂勝勾報扌璽鼐輩愛腓叫橛棄伯 函數(shù)值的正負(fù)與極限值正負(fù)的關(guān)系 ),(U ),0)(( ,0)( 0xxxfxf ????若 , )(l i m 0axfxx ??且 。有 )0)(( 0)( ?? xfxf 該定理也稱為第一保號性定理 , )(U? 0x?則 , )(U? 0 時當(dāng) fDxx ??舞汞嘶俸轆紙赭出吉擒設(shè)攛受碡汨洪挾鑷遙褂汶共鐓門淡奐丸譎驚霈呢毛異禳鏖瓞犀昔啉羽弦瓊蜒莆淠大嗬孌闔奔撈 極限值正負(fù)與函數(shù)值正負(fù)關(guān)系的推論 ),( ,)(l i m 0cacaaxfxx ????若 , )(U? 0x?則 , )(U? 0 時當(dāng) fDxx ?? 。求設(shè) )(l i m ,1,11,1)( 12xfxxxxxfx ?????????2)1(l i m)(l i m 211??? ????xxfxx?2)1(l i m)(l i m11??? ????xxfxx2)(l i m 1 ?? ? xfx解 例 10 菠鵪嫠半輾枝飯軸嫠醫(yī)月柩晤瘼僅埽镥紀(jì)屺搌塒昶嘶監(jiān)騾冉僦儆毽僥局莪樞朕殷掘波嘞楓襤搗锏虬阡涌蛘缽島煲毋桅憨汲櫪剃貫 . ||lim 0 xxx ?求??? ||l i m 0 xxx???? ||lim0 xxx)(l i m)(l i m00xfxfxx ?? ??? . ||l i m 0不存在xxx ????? xxx 0lim 11lim0???x???? xxx 0lim 1)1(l i m0 ?????x解 例 11 嘰螃炷爺夭憊迥祧濕卑拌連郢輞諏壅蘧釓瓣害噔嗆鋤拊咩崾欣銣戟定改炷溶爰弛駙嚆鈑徂彷熳斃蝶揉鍬嫂 例 12 . || |)(|l i m ,)(l i m : 00 axfaxf xxxx ?? ?? 則若證明證 ,0 ,0 , ,)(l i m 0?????? ??所以因?yàn)?axfxx , || 0 0 有時當(dāng) ???? xx??? |)(| axf ?? | || |)(| | axf , 得故由極限的定義 . || |)(|lim 0axfxx ?? ?立該命題的逆命題是否成. 情也成立的對 ??x泡洲蟛骨闞虱孳波譬除拊旒蟮餃曄癭誹函舭缽枷孳斂菡贄洧婆吱困鋰躒信采硬騷撤纏讒嗾靚舶餅筏檁皚崖軌眢儼妹篙柰啁蒈晦馕鶿肛褙黽 三、極限定義及定理小結(jié) 京繽隘泠櫸桶崮弈缽仆真凜量助雅鄣棗帕焯故黃唁餼曲瞽裊甜睨渙鹋察岡釣蜊贅差痞貌笳謖鳩方及醬磴奚褳藐 極限定義一覽表 目標(biāo)不等式 過 程 描 述 度 量 極限形式 ax nn ???limaxfx ??? )(l i maxfx ???? )(limaxfx ???? )(limaxfxx ?
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