【文章內(nèi)容簡介】 0x y y z? ? ? ?(zx) ,所以 ( 2 )z x y?? 2 0? 第三章 高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用 9 所以 2z x y?? 0? ,即 2z x y?? . 柯西 — 施瓦茲不等式應用 柯西 — 施瓦茲不等式是高等代數(shù)的一個重要不等式 ， 它在中學數(shù)學中有廣泛的應用。 例 1：設(shè)歐式空間 nR ,令 12= , , )na a a? （ , 12( , , ) nnb b b R? ?? 則有 2 2 2,? ? ? ?? （當且僅當 ? ,? 線性相關(guān) 時等號成立） ,在標準內(nèi)積下 ,有： 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2) ( ) ( ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 若 1( 1, 2, , )ib i n?? ,則得： 2 2 2 21 1 2 2 1 2) ( )n n na b a b a b n a a a? ? ? ? ? ? ?（ 例 2：設(shè) a,b,c,都是正數(shù) ,且 1abc? ? ? ,求證： 1 1 1 9abc? ? ? 證明：在 3R 中使用標準內(nèi)積 .設(shè) = , , )abc? （ , 1 1 1,abc? ??????= 則有： 22 1 1 1 1 1 1( ) ( ) )abc a b c a b c?? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 1 1 1,9a b ca b c?? ??? ? ? ? ? ? ????? 由柯西不等式得： 1 1 1 9abc? ? ? 成立 從 上例可知 ,使用柯西 — 施瓦 茲 不等式重要的是 構(gòu) 造一 個 合適的 歐 氏空 間 ,特 別 是構(gòu) 造 內(nèi)積運 算 ,并 找到 兩個 適 當 的向量。 由上兩個例子我們不難看出高等代數(shù)的很多知識完全可以作為一種工具來解決中學數(shù)學問題 ,而這中間構(gòu)造法起了很重要的作用。高等代數(shù)應用于中學數(shù)學并不是簡單的一題多解 ,而是一種知識的融會貫通。高等 代數(shù)方法在中學數(shù)學中的應用還有很多 ,方法也獨特且靈活多變。如果應用恰當 ,可以化難為易 ,收到事半功倍之效。 微積分方法 在 中學數(shù)學的應用 如果將整個數(shù)學比作棵大樹 ,那么初等數(shù)學是樹的根 ,名目繁多的數(shù)學分支是樹枝 ,而樹干的主要部分就是微積分 ??5。 不論是高等數(shù)學還是初等數(shù)學 ,其基本方法都是相通的 ,那么 ,高等數(shù)學微積分方法在中學數(shù)學中有著怎樣的應用？下面我來舉例進行說明。 微積分方法在求函數(shù)的極值、最值中的應用 利用導數(shù)求函數(shù)的極大 (小 )值 ,求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［ a,b］上的最大最小值 ,或利用求導法解決一些實際應用問題是函數(shù)內(nèi)容的繼續(xù)與延伸 ,這種解決問題的方法使復雜問題變得簡單化 ,因而已逐漸成為新高考的又一熱點。 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中 的應用 10 例：已知 32( ) ( 0)f x ax bx cx a? ? ? ?,在 1x?? 時取得極值 ,且 (1) 1f ?? （ 1)試求常數(shù) a、 b、 c 的值； (2)試判斷 x=177。 1 是函數(shù)的極小值還是極大值 ,并說明理由。 解： （ 1） 39。2( ) 2f x ax bx c? ? ? 1x?? 是函數(shù)的極值點 1x??? 是方程 39。( ) 0fx? 即 2 20ax bx c? ? ?的根 39。(1) 0f ? 即 20a b c? ? ? 39。( 1) 0f ??即 20a b c? ? ? 又 39。(1)=1f , 1abc? ? ? ?? 將上面三式聯(lián)立 得： 21, 0, 1, 3a b c? ? ? ? （ 2） 3()f x x x?? 39。2( ) 1 ( 1 ) ( 1 )f x x x x? ? ? ? ? ? 1, 1xx? ? ?? 時 , 39。( ) 0fx? 當 11x? ? ? 時 , 39。( ) 0fx? ∴ 函數(shù) f(x)在 (－ ∞,－ 1)和 (1,+∞)上是增函數(shù) ,在 (－ 1,1)上是減函數(shù) 。 ∴ 當 x=－ 1 時 ,函數(shù)取得極大值 f(－ 1)=1。 當 x=1時 ,函數(shù)取得極小值 f(1)=－ 1。 這樣 ,我們就很容易地解決了這個一元三次函數(shù)的極值問題 .總之 ,微積分它作為是一種數(shù)學思想 ,用它解決中學數(shù)學問題有很多便捷之處。 用微積分知識直接用來處理初等數(shù)學的問題而達到簡便的目的 在初等數(shù)學中有些不能或不易解決的問題，運用高 等數(shù)學的理論方法可以得到圓滿的解決。例如：中學數(shù)學中證明某些恒等式時的恒等變形過程相當繁雜，稍不小心就會出錯。如果題目再復雜一些，就更困難。使用微積分的知識，可以避免繁雜的工作。 例（ 方程根的討論） 求證 1))(( ???? baxax 有兩個相異實根，并且一個根大于 a ，令一個根小于 a 。 證法一 （采用初等方法證明） 證明： 將方程 1))(( ???? baxax 整理得 ? ? ? ? 012 22 ?????? abaxbax ? ? ? ?142 22 ??????? ababa 44444 222 ?????? abababa 042 ???b 所以方程有兩個相異的實根 2 42,2 422221 ???????? bbaxbbax 第三章 高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用 11 2 42 42221 ?????????? bbabbaax 2 42 42222 ????????? bbabbaax 因為 ,4 22 bb ?? 所以 .42 bb ?? 因此 ., 21 axax ?? 證法二 （采用微積分方法證明） 證明： 設(shè) ? ? ? ?? ? 1????? baxaxxf 則 ? ? 01???af 因為 ? ? ???? xfx 0lim，所以在區(qū)間 ? ?a,?? 和 ? ???,a 內(nèi)分別存在 ? 和 ? ，使? ? ? ? 0,0 ?? ?? ff 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，在區(qū)間 ? ?a,? 和 ? ??,a 內(nèi)分別存在 1x 和 2x ，使? ? ? ? 0,0 21 ?? xfxf 這表明 1x 和 2x 是方程的兩個相異實根， ., 21 axax ?? 不僅如此，根據(jù)這一證法，我們還可以深化和拓廣對這一方程的研究，獲得新的結(jié)論。因為 ? ? 01 ???? baf 所以 ba? 同樣介于方程的兩根之間，我們還可以看到，方程 ? ?? ? 1???? baxax 的右端對于本題的結(jié)論來說并非是至關(guān)重要 的，關(guān)鍵是方程的右端必須是一個正數(shù)。于是綜合以上兩點可以得到更為一般的結(jié)論：設(shè) 0?c ，則方程? ?? ? cbaxax ???? 必有兩個相異實根，且均介于方程的兩根之間。 注： 本題用初等數(shù)學的方法證明必須分為兩步：先利用判別式證明方程有兩個相異實根，再利用求根公式求出方程的兩個根，并與 a 比較其大小，這樣做具有一定的計算量，顯得麻煩。而采用微積分的方法，可將兩步并為一步，顯得簡捷，而且還可以得到更為深層的結(jié)論。 例（ 不等式的證明） 若 0?x ，求證： ? ? xxxx ???? 1ln1 證明：設(shè) ? ? ? ?xxf ?? 1ln 則 ??xf 在 ? ?x,0 上滿足拉格朗日中值定理，故存在 ? ?x,0?? 使? ? ? ? ? ?0 0???? x fxff ? 即 ? ?x x??? 1ln1 1? ,0 x???? 11 11 1 ????? ?x 廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中 的應用 12 ? ? 11ln1 1 ????? x xx 即 ? ? xxxx ???? 1ln1 注 不等式的證明方法多種多樣，沒有統(tǒng)一的模式，初等數(shù)學常用的方法是恒等變形、數(shù)學歸納法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有較高的技巧。利用微積分的方法證明不等式，常利用函數(shù)的增減性、微分中值定理等有關(guān)知識，它可使不等式證明的過程大大簡化，技巧性降低，但也沒有固定模式 ??6。 例 （ 代數(shù)式 的化簡） 化簡 ? ? ? ? ? ? ? ? .3333 yxzxzyzyxzyx ??????????? 解：把 x 看作變量， y 與 z 看作常量．令 ???xf ? ? ? ? ? ? ? ? .3333 yxzxzyzyxzyx ??????????? 對求導得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? yzyxzxzyzyxzyxxf 243 2222 ?????????????? 上式兩端取不定積分得 ? ? Cxyzyzd xxf ??? ? 2424 ?? ? ? ? ? ? ? ? 3333 yxzxzyzyxzyx ??????????? Cxyz??24 令 0?x 得 ? ? ? ? ? ? ? ? 03333 ????????? yzzyzyzyC 故原式 xyz24? 注 ：對于代數(shù)式的化簡，初等數(shù)學常采用的方法是把各項展開然后合并同類項，計算量比較大，比較繁瑣。利用微積分方法可使解題過程簡化。 積分在空間立體體積與表面積中的 應用 例： 證明：底面半徑為 r，高為 h 的圓錐體的體積為 23 rhV ?? 。 證明 ：取圓錐體頂點 o為坐標原點，過頂點垂直于底面的直線為 x軸，過坐標原點 o且垂直于 x 軸的直線為 y 軸（如圖），則圓錐體可以看作是由直線 PO 于 x=h 及 x 軸圍成的直角三角形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體直線 OP的方程為 .0, hxxhry ??? 則所求圓錐體的體積為 23220 303)( rhhxhrdxxhrV h ??? ???? ? 。 例： 證明：半徑為 R 的圓面積為 2R? ??7。 證明：（一）已知圓心在坐標原點，半徑為 R 圓的方程是 222 Ryx ?? 顯然，它關(guān)于坐標原點對稱，故圓的面積為圓的第一象限內(nèi)的面積的 4 倍。故所求圖形面積為 20 222220 0)a rc s i n22(444 RRRxRxRxdxxRy dxS aa ???????? ?? 第三章 高等數(shù)學在初等數(shù)學中的應用 13 (二 )圓的面積也可以看作是由上半圓 22 xRy ?? 與下半圓 22 xRy ??? 所圍成圖形的面積，于是有 22222222 a rc s i n222)]([ RRRRxRxRxdxxRxRS R R ??????????? ???????? ?? (三 )圓的參數(shù)方程為 ??? ?? ,sincostRy tRx ?20 ??t ，于是有， ? ?? ?????? ? ?? ?20 20 22220 s i n)s i n(s i n)c os(s i n Rt dtRdttRtRdttRtRS 例： 證明：橢圓 12222 ??byax 的面積為 ?ab 。 證明：（一）由于橢圓 12222 ??byax 關(guān)于兩個坐標軸對稱，故橢圓面積為橢圓在第一象限內(nèi)面積的 4 倍。 由橢圓方程 12222 ??byax 得，第一象限函數(shù)表 達式為 22 xaaby ?? 。于是有 ?abaaxaxaxabdxxaabS a ?????? ? 0)a rc s i n22(44 0 22222 。 （二）橢圓的面積也可以看作是由上半橢圓 22 xaaby ?? 與下半橢圓 22 xaaby ??? 所圍成圖形的面積，由預備知識中公式（ 3）得 ?aba aaxaxaxabdxxaabxaabS a a ?????????? ?? )a rc s i n22(2)][([ 2222222 （三）橢圓參數(shù)方程為??? ?? ,sincostby tax ?20 ??t 。 于是有 ?? ?????? ?? ??20 220 02)2s i n21(2s i n)c os(s i n abttabt dtabdttatbS 積分在求曲線弧長中的應用 例： 證明：半徑為 R的圓的周長為 R?2 。 證明：（一）已知圓心在坐標原點半徑為 R的方程為 222 Ryx ?? 由于圓關(guān)于兩個坐標軸對稱，所以只須求出第一象限內(nèi)的弧長，然后 4倍，即得出圓廣東石油化工學院本科畢業(yè)論文：淺談高等數(shù)學在中學數(shù)學中 的應用 14 的周長 S。 已知圓在第一象限的方程是 RxxRy ???? 0,22 且 222222 1, xRRyxR xy ???????? 于是，圓的 周長為 RR