淺談高等代數(shù)在中學(xué)的應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-07-19 17:17 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 族共線的條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于。（2）平面族過同一平面(重合)的條件是系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于1。平面族互相平行的條件是對應(yīng)的方程組無解,相當(dāng)于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等。此外線性方程組理論還可解決直角坐標(biāo)平面上四點共圓或者過不共線的三點的圓的方程等問題。比如下面就是一個線性方程組的例子：例：一個廟里有一百個和尚，這中間有大和尚有小和尚，這一百個和尚每頓飯總共吃一百個饅頭，其中大和尚一個人吃三個，小和尚三個人吃一個，問大和尚和小和尚各多少人?解 設(shè)大和尚的數(shù)目是，小和尚的數(shù)目是，則有， 解之得 其實，更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理 含有n個未知量n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數(shù)行列式等零.例1已知函數(shù),證明、中至少有一個不小于.解 把=1,2,3代入函數(shù)表達(dá)式,列方程組上述關(guān)于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得，假設(shè)結(jié)論不成立,即, , ,易推出,從而產(chǎn)生矛盾,故命題成立.例2 已知，，求證：.證明：由已知得關(guān)于得方程組因為不可能為零，所以由定理知化簡得即.由已知條件的結(jié)構(gòu)特征與待解問題之間的關(guān)系建立齊次線性方程組,構(gòu)造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干棘手問題,凸顯了用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問題的優(yōu)越性.第3章 二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)里有時遇到多元二次多項式的因式分解問題,我們可以利用高等代數(shù)中二次型理論來探討復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上多元二次多項式的分解條件及分解方法。實際上,n元二次多項式可以和n+1元二次型聯(lián)系起來。比如由二元二次多項可構(gòu)成三元二次型 反之,由二次型取z=1,得相應(yīng)的二次多項式。一般地,如果n元二次多項式為 則稱n +1元二次型 為對應(yīng)的二次型。容易證明:n元二次多項式可分解的充要條件是對應(yīng)的二次型可分解為兩個n +1元一次齊次式的乘積。因此可以主要考慮二次型的分解。根據(jù)二次型理論,可以證明以下結(jié)論:復(fù)數(shù)域上二次型可分解的充要條件是它的秩不超過2。實數(shù)域上二次型可分解的充要條件是它的秩等于1,或者秩是2且符號差是0。這個結(jié)論表明了二次多項式或二次型可分解與否的判別方法,至于具體的分解方法,一般是利用配方法或二次型理論中的矩陣合同變換法把二次型先化為標(biāo)準(zhǔn)型,再作進(jìn)一步的因式分解?？紤]一個 n 元二次型：，其中,.定義一個二次型經(jīng)過非線型替換變成的平方和，稱為的標(biāo)準(zhǔn)型.定理1 實數(shù)域上任意一個二次型 都可以經(jīng)過非退化的線性替換變成平方和（1）的形式.定理2 一個實二次型可以分解成兩個實數(shù)系的一次齊次多項式乘積的充要條件是它的秩等于2和符號差為0，或秩等于1.例 1 試判斷下列多項式在 R 上能否分解，若能，分解之.解 1) 令,則，下面考慮的秩和符號差，對作非線性替換:， 即 有，可見的秩是3，有定理2，知不能分解，從而也不能分解.解 2) 令， 即 有，從而，可見的秩為2，符號差為0，有定理2，知可以分解，且定理2 對于n元實二次型為的特征值,則對于任意,有.例3 設(shè)是實數(shù),.解 令,則的矩陣.令,因此,特征值.由定理得,注意到,從而,所以的最大值為9,最小值為1.由此可見,運用高等代數(shù)中二次型定理可以順利解決二次型在條件下的取值范圍,解法流程清晰,易于掌握.第4章 矩陣與變換引入中學(xué)數(shù)學(xué)的意義及應(yīng)
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