高等代數(shù)【北大版】(22)(編輯修改稿)
2024-11-12 06:35 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2 , 1 2, , , , , , , , , ,m n m n m? ? ? ? ? ? ? ? ???線性無關(guān) . 令 111 1 1 1m m n m n mk k p p? ? ? ???? ? ? ? ?2211 0n m n mqq?? ??? ? ? ?假設(shè)有等式 111 1 1 1m m n m n mk k p p? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?2211 n m n mqq?? ??? ? ? ?167。 子空間的交與和 則有 1 2 1 2a V a V V V?? ? ?且 ， 于 是 ，令 1 1 2 2 ,mml l l? ? ? ?? ? ? ?即 可被 線性表出 12, , , m? ? ? ?則 221 1 2 2 1 1m m n m n ml l l q q? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?221 1 2 2 1 1 0m m n m n ml l l q q? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?即 從而有 21 2 1 0,m n ml l l q q ?? ? ? ? ? ? ?由于 線性無關(guān)，得 21 2 1 2, , , , , , ,m n m? ? ? ? ? ? ?因而 0.? ?167。 子空間的交與和 111 1 1 1 0m m n m n mk k p p? ? ? ???? ? ? ? ? ?11 2 1 0m n mk k k p p?? ?? ? ? ? ?由于 線性無關(guān)，得 11 2 1 2, , , , , , ,m n m? ? ? ? ? ? ?121 2 1 2 , 1 2, , , , , , , , , ,m n m n m? ? ? ? ? ? ? ? ???所以， 1 2 1 2 1 2d i m ( ) ( ) ( )V V m n m n m n n m? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ 線性無關(guān) . 因而它是 的一組基 . 12VV?1 2 1 2d i m d i m d i m ( )V V V V? ? ?167。 子空間的交與和 注： 從維數(shù)公式中可以看到，子空間的和的維數(shù) 往往比子空間的維數(shù)的和要小 . 例如，在 R3中，設(shè)子空間 12d i m ( ) 3VV??1 1 2 2 2 3( , ) , ( , )V L V L? ? ? ???1 2 3( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 )? ? ????其中， 31 2 1 2 2 3 1 2 3( , ) ( , ) ( , , )V V L L L R? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?但， 則， 12d i m 2 , d i m 2VV??由此還可得到， 12d i m ( ) 1 ,VV ?12VV是一直線 . 167。 子空間的交與和 推論： 設(shè) 為 n 維線性空間 V的兩個子空間， 12,VV1 2 1 2 1 2d i m ( ) d i m d i m d i m ( )V V V V V V? ? ? ?若 ，則 必含非零的公共 12d i m d i mV V n?
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