淺談高等代數(shù)在中學(xué)的應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 t線性方程組的理論是線性代數(shù)的重要理論結(jié)果,它是中學(xué)數(shù)學(xué)方程組求解方法的理論化與規(guī)范化。、共線、平行與重合的問(wèn)題。比如下面就是一個(gè)線性方程組的例子：例：一個(gè)廟里有一百個(gè)和尚，這中間有大和尚有小和尚，這一百個(gè)和尚每頓飯總共吃一百個(gè)饅頭，其中大和尚一個(gè)人吃三個(gè)，小和尚三個(gè)人吃一個(gè)，問(wèn)大和尚和小和尚各多少人?解 設(shè)大和尚的數(shù)目是，小和尚的數(shù)目是，則有， 解之得 其實(shí)，更多元的線性方程組也是同樣的解法.定理 含有n個(gè)未知量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是:方程組的系數(shù)行列式等零.例1已知函數(shù),證明、中至少有一個(gè)不小于.解 把=1,2,3代入函數(shù)表達(dá)式,列方程組上述關(guān)于a、b、1的齊次線性方程組有非零解,故,展開整理得，假設(shè)結(jié)論不成立,即, , ,易推出,從而產(chǎn)生矛盾,故命題成立.例2 已知，求證：.證明：由已知得關(guān)于得方程組因?yàn)椴豢赡転榱?，所以由定理知化?jiǎn)得即.由已知條件的結(jié)構(gòu)特征與待解問(wèn)題之間的關(guān)系建立齊次線性方程組,構(gòu)造三階行列式,其解題思路新穎,能夠巧妙地解決中學(xué)數(shù)學(xué)中的若干棘手問(wèn)題,凸顯了用高等數(shù)學(xué)理論與方法解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的優(yōu)越性.第3章 二次型理論在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)里有時(shí)遇到多元二次多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題,我們可以利用高等代數(shù)中二次型理論來(lái)探討復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多元二次多項(xiàng)式的分解條件及分解方法。這個(gè)結(jié)論表明了二次多項(xiàng)式或二次型可分解與否的判別方法,至于具體的分解方法,一般是利用配方法或二次型理論中的矩陣合同變換法把二次型先化為標(biāo)準(zhǔn)型,再作進(jìn)一步的因式分解。用矩陣這樣,結(jié)論表明對(duì)該矩陣做初等消法行變換和初等倍法行變換以后不改變最大公因式。一維情況:非零向量a與向量e共線(平行)的充要條件是a可由e線性表示。把每個(gè)線性方程看成一個(gè)行向量,那么兩個(gè)線性方程組同解相當(dāng)于對(duì)應(yīng)兩個(gè)行向量組等價(jià)。此外,線性相關(guān)性的概念可移用于線性方程組。 向量有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于拓寬解題思路，有利于發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力，有利于與高等教育銜接等方面。如果采用矩陣的知識(shí),可使求解過(guò)程簡(jiǎn)潔許多。根據(jù)二次型理論,可以證明以下結(jié)論:復(fù)數(shù)域上二次型可分解的充要條件是它的秩不超過(guò)2。平面族互相平行的條件是對(duì)應(yīng)的方程組無(wú)解,相當(dāng)于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩不相等。將求解問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為行列式的計(jì)算,避免了消元法的繁瑣計(jì)算。這里結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)著重探討行列式的應(yīng)用。matrixsomewilldividedwidemiddleofmathematicalis齊次線性方程組。ofInareAndelementaryparts.lotdeterminant,vectorquadratic線性方程組是否有解、有解時(shí)解的數(shù)量、通解的公式表示、解的幾何意義等一系列問(wèn)題都得到了圓滿的解決,體現(xiàn)了高等代數(shù)相對(duì)于初等代數(shù)的新觀點(diǎn)、新思想、新方法的優(yōu)越性,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用。利用線性方程組的理論容易解決平面共點(diǎn)、共線、平行與重合的問(wèn)題。實(shí)際上,n元二次多項(xiàng)式可以和n+1元二次型聯(lián)系起來(lái)?？紤]一個(gè) n 元二次型：，其中,.定義一個(gè)二次型經(jīng)過(guò)非線型替換變成的平方和，稱為的標(biāo)準(zhǔn)型.定理1 實(shí)數(shù)域上任意一個(gè)二次型 都可以經(jīng)過(guò)非退化的線性替換變成平方和（1）的形式.定理2 一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)數(shù)系的一次齊次多項(xiàng)式乘
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