淺談高等代數(shù)在中學(xué)的應(yīng)用-文庫吧
2025-06-07 17:17 本頁面
【正文】 有關(guān)的課程都涉及線性代數(shù)知識．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須解題，解題要以自己的實踐過程來實現(xiàn)．本文在闡述一些重要的概念和定理之后，常常附以具體例子，這樣可以使讀者從實例中了解問題的具體內(nèi)容，掌握解決問題的思路和算法步驟，以減少理解障礙，從而提高邏輯讀者的推理和判斷的能力．第1章 行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用隨著高中數(shù)學(xué)新課程的實施,行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透、應(yīng)用越來越受關(guān)注, 行列式是在尋求線性方程組公式解的過程中產(chǎn)生的。行列式是線性代數(shù)的基本工具,有許多的應(yīng)用。這里結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)著重探討行列式的應(yīng)用。本文從三個方面淺析其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 用行列式證明等式利用行列式證明等式與不等式的方法是對同一行列式用兩種不同的計算方法，利用其結(jié)果相等而得到等式的證明.例1 已知，求證.證明：令，則，即例2 已知，，求證：.證明：令，則有.例3 在中，求證.證明 由于所以，在中，成立.例 4求證：.證明：因為又，故 用行列式分解因式由行列式的定義，.由此啟發(fā)，我們可以把一個代數(shù)式看成兩個式子的差，而每個式子又可以看成兩個因式的乘積，即(均為代數(shù)式)，對某些多項式進行因式分解.例1分解因式.解：.例2 將分解因式.解：.例3 分解因式.解：.利用行列式分解因式的關(guān)鍵是將所給多項式的形式寫成行列式的形式，并注意行列式的排列規(guī)則. 行列式在解析幾何中的應(yīng)用定理1（1）以平面內(nèi)三點為頂點的的面積的絕對值.（2）通過兩點的直線方程為.例 求過點和點的直線的方程.解 由，得直線的方程為.（3）平面內(nèi)三條直線.相較于一點或互相平行的充要條件是：.推論平面上三點在一條直線上的充要條件是.定理2 通過平面上三點的圓的方程為.例1 平面上給出三個兩兩相交的圓，每兩個圓有一條根軸，則三條根軸互相平行或交于一點.證明：，它們所在的直線方程為三條直線方程的系數(shù)行列式為故三直線平行或相較于一點.,居高臨下,讓人耳目一新.第2章 線性方程組在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。線性方程組的理論是線性代數(shù)的重要理論結(jié)果,它是中學(xué)數(shù)學(xué)方程組求解方法的理論化與規(guī)范化。線性方程組是否有解、有解時解的數(shù)量、通解的公式表示、解的幾何意義等一系列問題都得到了圓滿的解決,體現(xiàn)了高等代數(shù)相對于初等代數(shù)的新觀點、新思想、新方法的優(yōu)越性,對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有高屋建瓴的指導(dǎo)作用。消元法是中學(xué)數(shù)學(xué)求解二(三)元一次方程組的基本方法,在高等代數(shù)中可以得到理論上的完美解釋,即由于線性方程組的初等變換保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的實質(zhì)是反復(fù)對方程組作初等變換,或者說消元法是對線性方程組的增廣矩陣作行的初等變換的過程。并且,根據(jù)線性方程組解的理論容易知道解的只有三種情況(唯一解、無解、無窮多解)以及具體判定方法和解的結(jié)構(gòu)特征。特別地,在一定條件下,方程組的唯一解可以用公式形式給出,即Cramer法則。Cramer法則的意義主要在于:明確了解的存在性與唯一性,為判斷這類方程組的有解性提供了比較直接的方法。將求解問題,轉(zhuǎn)化為行列式的計算,避免了消元法的繁瑣計算。以公式的形式給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系,為一般線性方程組公式解的表達式提供了理論依據(jù)。、共線、平行與重合的問題。利用線性方程組的理論容易解決平面共點、共線、平行與重合的問題。實際上,平面族交于一點的條件是對應(yīng)的方程組有唯一解,相當(dāng)于系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都等于。3。（1）平面
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