高等代數(shù)【北大版】(47)-文庫吧
2025-09-17 06:38 本頁面
【正文】 則對 有 , ( , ) 0 ,Vf? ? ?? ? ?, V????1( , ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ]2f f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?1 [ 0 0 0 ] 0 .2? ? ? ?所以這樣的 是存在的 . 1?對 用歸納法 . dim Vn?① 時成立 . 1n?② 假設(shè) 維數(shù)上述結(jié)論也成立 . 1n??將 擴(kuò)充為 V的一組基 1? 12, , , .n? ? ?167。 對稱雙線性函數(shù) 1111( , )39。 , 1 , 2 , , .( , )iiif inf??? ? ???? ? ?令 則 1 111( , )( , 39。) ( , ) 0 .( , )ii i i iffff??? ? ? ? ???? ? ?易證 仍是 V的一組基 . 12, 39。 , , 39。n? ? ?考察由 生成的線性子空間 2339。 , 39。 , , 39。n? ? ?23( 39。 , 39。 , , 39。 )nL ? ? ?23( 39。 , 39。 , , 39。 ) ,nL? ? ? ??? 有 且 1( , ) 0f ?? ?1 2 3( ) ( 39。 , 39。 , , 39。 )nV L L? ? ? ???167。 對稱雙線性函數(shù) 把 看成 上的雙線性函數(shù)， ( , )f ?? 23( 39。 , 39。 , , 39。 )nL ? ? ?仍是對稱的 . 由歸納假設(shè)， 有一組基 滿足 23( 39。 , 39。 , , 39。 )nL ? ? ?2 , n??( , ) 0 , 2 , 3 , , .ijf i j n i j?? ? ? ?故 是 V的一組基，且滿足 12, , , n? ? ?( , ) 0 , 2 , 3 , , .ijf i j n i j?? ? ? ?1 2 3( ) ( 39。 , 39。 , , 39。 ) .nV L L? ? ? ???由于 167。 對稱雙線性函數(shù) 若 在基 下的度量矩陣為對角矩陣 ( , )f ?? 12, , , n? ? ?1ndd??????12( , , , ) ,n i iXx? ? ? ? ??? ?1 1 1 2 2 2( , ) 39。 .n n nf X D Y d x y d x y d x y?? ? ? ? ? ?則對 12( , , , )n i iY y V? ? ? ? ?? ? ??注 167。 對稱雙線性函數(shù) 推論 1 設(shè) V是復(fù)數(shù)域上 n 維線性空間 . 為 V上對稱雙線性函數(shù) .則存在 V的一組基 對 ( , )f ??12, , , ,n? ? ?1 1 2 2 ,nnx x x? ? ? ?? ? ?
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