高等代數(shù)【北大版】(4)-文庫(kù)吧
2024-10-01 06:38 本頁(yè)面
【正文】 n稱為 正交基 ； 2. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義 由單位向量構(gòu)成的正交基稱為 標(biāo)準(zhǔn)正交基 . 注： ① 由正交基的每個(gè)向量單位化，可得到一組標(biāo)準(zhǔn) 正交基 . 167。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 ② 維歐氏空間 V中的一組基 為標(biāo)準(zhǔn)正交基 n 1 , n??③ 維歐氏空間 V中的一組基 為標(biāo)準(zhǔn)正交基 n 1 , n??當(dāng)且僅當(dāng)其度量矩陣 ? ?( , ) .i j nAE????? 1( , ) , 1 , 2 , ,0ij ij i j nij?? ??? ? ，(1) ④ 維歐氏空間 V中標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用 : n設(shè) 為 V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則 1 , n??167。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 (i) 設(shè) 1 1 2 2 nnx x x V? ? ? ?? ? ? ? ?由 (1) ， ( , ) .iix?? ?(ii) 1 1 2 21( , )nn n i iix y x y x y x y???? ? ? ? ? ? (3) 這里 1 1 2 2 nnx x x? ? ? ?? ? ? ? ，1 1 2 2 .nny y y? ? ? ?? ? ? ?(iii) 221|| nxx? ? ? ?1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?有 (2) 167。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 (定理 1) 維歐氏空間中任一個(gè)正交向量組都能 n擴(kuò)充成一組正交基 . 證：設(shè) 歐氏空間Ｖ中的正交向量組， 12, , , m? ? ?對(duì) 作數(shù)學(xué)歸納法． nm?當(dāng) 時(shí) , 0nm??3. 標(biāo)準(zhǔn)正交基的構(gòu)造 ─ 施密特 (Schmidt)正交化過程 12, , , m? ? ?就是一組正交基了 . 1） 167。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 12, , , k? ? ?使 1 2 1 2, , , , , , ,mk? ? ? ? ? ?假設(shè) 時(shí)結(jié)論成立，即此時(shí)可找到向量 n m k??成為一組正交基 . 現(xiàn)在來(lái)看 的情形 . 1 ( 1 )n m k? ? ? ?所以必有向量 不能被 線性表出， ? 12, , , m? ? ?1 1 1 2 2m m mk k k? ? ? ? ?? ? ? ? ?,mn?因?yàn)? 作向量 待定． ikR?( 0)?167。 標(biāo)準(zhǔn)正交基 從正交向量組的性質(zhì)知 1( , ) ( , ) ( , ) , 1 , 2 , , .i m i i i ik i m? ? ? ? ? ?? ? ? ?于是取 ( , ) 1 , 2 , , ,( , )iiiik i m?????? , 1( , ) 0 1 , 2 , , .im im?? ? ?? , 即 為正交向量組． 1 2 1, , , ,mm? ? ? ? ?由歸納法假設(shè)知，對(duì)這 個(gè)向量構(gòu)成的正交組 1m
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