韋達定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-09 07:53 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＝ ＝ ＝ 證畢 . 例 10 已知 ，其中 、 、 為實數(shù) .求證： . 分析：根據(jù)題目特點構(gòu)造一個一元二次方程，使不等式中涉及的量成為方程的系數(shù)，然后令 . 證明： 因為 （ 1） 所以 ， 于是 （ 2） 由（ 1）（ 2）知， 、 是方程 的根 因為 、 是實數(shù)，所以 ，解得 同理可證 ， . 例 11 如果一元二次方程 的兩根之比為 2： 3，求證： .（初中《代數(shù)》第三冊 ) 證明： 設(shè)兩根為 則 （ 1） （ 2） 由（ 1）（ 2）得 ，即 . 韋達定理在解析幾何中的應(yīng)用主要有：求直線方程、點的軌、弦長；解決圓錐曲線有關(guān)對稱問題、定點問題、存在性問題等 . 例 12 過點 （ 0， 1）作一直線 ，使它包含在兩已知直線 和 之間的線段平分于 點，求直線 的方程 . 解：兩直線 、 的方程可寫為： 設(shè)直線 的方程為 ，代入上式得： 即 此方程的兩個根 、 是 與 、 焦點的橫坐標，根據(jù)題意，由韋達定理及中點坐標公式可得： 解得 故直線 的方程為 . 例 13 已知雙曲線 ，過點 （ 1， 2）的直線 與所給雙曲線交于 、 兩點，求 的中點 的軌跡 . 解：設(shè) 點坐標為 ，則 的方程可寫成參數(shù)式 將其代入雙曲線方程并整理得： 由于 為 的中點，由參數(shù) 的幾何意義及韋達定理可 得： 所以 ， 于是 ，故 點的軌跡方程為 . 設(shè)直線 與非退化圓錐曲線相交于 、 兩點，則： 又因為直線 的斜率 ， 于是可得弦長公式為 例 14 為不同的值而被移動的拋物線 與直線 相交于 、 兩點，求 最大時 的值和 的最大值 . 解：由 得 所以 于是 ＝ ＝ ＝ 故當 時， 例 15 已知橢圓 ，試確定 的取值范圍，使得對于直線 橢圓上有兩個不同的點關(guān)于該直線對稱 . 解：設(shè)橢圓上兩點 、 關(guān)于直線 對稱，則直線 的方程可設(shè)為 聯(lián)立方程 和 ，得 由 得 （ 1） 由韋達定理得 ，故 所以 的中點 的坐標為 又因為點 在直線 上，將點 的坐標代入得 （ 2） 由（ 1）（ 2）可知 . 例 16 如圖 1，設(shè)點 、 為拋物線 上的動點， 為坐標原點， ，求證：直線 恒過定點 . 圖 1 證明：設(shè)直線 的方程為 聯(lián)立 和 ，得 設(shè) 、 ，則
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