韋達定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用-免費閱讀
【正文】 【標題】 韋達定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用 【作者】 袁 孟 俊 【關(guān)鍵詞】 韋達定理 方程 代數(shù) 三角問題 解析幾何 【指導老師】 秦 小 二 【專業(yè)】 數(shù)學教育 【正文】 1引言 韋達 (Viete， Francois， seigneurdeLa Bigotiere) 是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一 .韋達是第一個有意識地、系統(tǒng)地使用 字母的人，他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學對數(shù)學的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用，使人類的認識產(chǎn)生了飛躍 .人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學上的功績，稱他為“ 代數(shù)學之父 ”. 他最早發(fā)現(xiàn)代數(shù)方程的根與系數(shù)之間有這種關(guān)系 , 因此 , 人們把這種關(guān)系稱之為韋達定理 (Viete’s Theorem). 它的主要內(nèi)容是：一元二次方程 且 中，設(shè)兩個根為 和 ，則： ， . 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達定理是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，其知識脈絡(luò)貫穿于中學數(shù)學教學的始終 . 對韋達定理 (Viete’s Theorem) 在中學數(shù)學中的應(yīng)用的研究，國內(nèi)外 很多教育學者和專家都有大量研究成果，范圍涉及方程、代數(shù)、三角、解析幾何等多方面 .例如 :趙適紅 [1]研究了韋達定理在方程和應(yīng)用題中的應(yīng)用；胡同祥，宋楊 [2]主要探討了韋達定理在方程中的應(yīng)用；祝朝富 [3]論述了韋達定理在解數(shù)學競賽題中的應(yīng)用；趙建勛 [4]探討了韋達定理在兩角和正切公式中的應(yīng)用；操禮智 [5]、沈文錦 [6]、呂文成 [7]等則主要研究分析了韋達定理在解析幾何中的應(yīng)用，等等 .但這些研究中幾乎很少涉及韋達定理在三角關(guān)系中的應(yīng)用，主要的研究方向停留于方程、代數(shù)、解析幾何這些我們所熟悉的層面之上 .有關(guān)韋達定理 在三角關(guān)系中的應(yīng)用至今還沒有實質(zhì)性的結(jié)果，有待我們?nèi)パ芯?. 韋達定理在三角關(guān)系中的應(yīng)用是近年高考的一個命題趨向，也是試題改革的一個熱點 .韋達定理在解決此類問題中起著重要作用，特別是在解決三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和差公式、判斷三角形類別等問題中能化難為易，化繁為簡 .它利用了設(shè)而不求的方法進行求解，大大簡化了計算步驟，同時解題的思路也比較清晰 . 2韋達定理的意義 韋達（ Viete， Francois， seigneurdeLa Bigotiere）是法國十六世紀最有影響的數(shù)學家之一．第一個引進系統(tǒng)的代數(shù)符號，并 對方程論做了改進．韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為 “ 韋達定理 ” ． 韋達最重要的貢獻是對代數(shù)學的推進，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，推進了方程論的發(fā)展．他創(chuàng)設(shè)了大量的代數(shù)符號，用字母代替未知數(shù)，系統(tǒng)闡述并改良了三、四次方程的解法，指出了根與系數(shù)之間的關(guān)系，給出三次方程不可約情形的三角解法． 一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系定理是方程基本理論中的重要內(nèi)容．一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達定理是中學數(shù)學的一個重要內(nèi)容 ,其知識脈 絡(luò)貫穿于中學數(shù)學教學的始終．教學中若能通過一些典型例題的分析 ,便可以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)慕忸}習慣 ,對中學教學的學習起著至關(guān)重要的作用． 韋達定理 (Viete’s Theorem) 在中學數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用，它是初中課程中的重要定理 ,在整個中學階段解題時都會經(jīng)常用到它．鑒于它應(yīng)用的靈活性 ,在解決有關(guān)方程、代數(shù)、三角、解析幾何等問題中都有著廣泛而實際的應(yīng)用．韋達定理對于減少運算量，整體解決問題具有獨特的作用．利用韋達定理可以實現(xiàn)設(shè)而不求、整體換元，從而簡化運算．解析幾何是高考的主干知識，而韋 達定理又是解析幾何的重要工具，因此可以說韋達定理是高考的重要內(nèi)容之一． 3韋達定理在中學數(shù)學中的應(yīng)用 韋達定理 (Viete’s Theorem) 是初中課程中的重要定理 ,但在整個中學階段解題時都會經(jīng)常用到它．鑒于它應(yīng)用的靈活性 ,在解決有關(guān)方程、代數(shù)、三角、解析幾何等問題中都有著廣泛的應(yīng)用． 韋達定理在方程中的應(yīng)用主要有：求方程中的待定系數(shù)、方程根之間的一些關(guān)系、構(gòu)造符合條件的方程、解方程組等． 例 1 方程 中，求 為何值 時，兩根的平方和等于 8. 分析 :該題條件中 ,兩根的平方和等于 8,關(guān)于兩根的對稱式的條件 ,故可利用韋達定理解題 . 解 :設(shè) 、 是方程 的兩根，依題意得 (1) (2) (3) 由（ 3）得 ，再將（ 1）（ 2）代入得 所以 而當 時， ，故 . 例 2 設(shè) 、 是關(guān)于 的方程 的兩個實數(shù)根 ,且 , ，求 和 .(1996年廣東省中考題 ) 解 :通過已知關(guān)系與韋達定理的聯(lián)系得到兩個關(guān)于 、 的方程，即 由 有 （ 1） 由 有
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