中學(xué)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-01-08 23:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ≈12330( 元 ) 答：向建設(shè)銀行貸款，每年應(yīng)付 12245元；若向工商銀行貸款，每年應(yīng)付 12330元． 例 2某職工年初向銀行貸款 2萬元用于購房，銀行為了推動住房制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為 10%，按復(fù)利計(jì)算（即將本年的本金與利潤的總和計(jì)為次年的本金），若這筆貸款要求 10次等額還清，每年一次， 10年還清，并且從貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？ 分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型． 解：設(shè)貸款額為 a0元，貸款年利率為 α ，次年等額歸還 x元，第 n年還清，則 一年后的欠款數(shù)為： a1＝ (1＋ α)a0 － x 二年后的欠款數(shù)為： a2＝ (1＋ α)a1 － x＝ (1＋ α)2a0 － x[（ 1＋ α ）＋ 1] 三年后的欠款數(shù)為： a3＝ (1＋ α)a2 － x＝ (1＋ α)3a0 － x[（ 1＋ α ） 2＋ (1＋ α) ＋1] ?? n年后的欠款數(shù)為： an＝ (1＋ α)an － 1－ x＝ (1＋ α)na0 － x[(1＋ α)n － 1＋ (1＋α)n － 2＋ ? ＋ (1＋ α) ＋ 1] 由于 an＝ 0，貸款還清， ∴(1 ＋ α)na0 ＝ x?1－ (1＋ α)n1 － (1＋ α) ， ∴x ＝ α(1 ＋ α)na0(1 ＋ α)n－ 1 將 α ＝ ， a0＝ 20210， n＝ 10代入，得 x＝ 2021 － 1 ≈2021 ≈3255 元． 例 3某人于 1997年 7月 1日在銀行按一年定期儲蓄的方式存入 a元， 1998年 7月1日，他將到期存款的本息取出后添上 a元再按一年定期儲蓄存入銀行，此后他每年 7月 1日按照同樣的方法在銀行取款和存款，設(shè)銀行定期儲蓄的年利率 r不變，問到 2021年 7月 1日他的本息共有多少？ 分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 解：由題意得： 1998年本息總數(shù)為 a(1＋ r)， 1999年本息總數(shù)為 a(1＋ r)2＋ a(1＋ r), ?? 2021年本息總數(shù)為： a(1＋ r)5＋ a(1＋ r)4＋ a(1＋ r)3＋ a(1＋ r)2＋ a(1＋ r) 即 a(1＋ r)[1－ (1＋ r)5]1－ (1＋ r) ＝ ar [(1＋ r)6－ (1＋ r)] 例 4用分期付款的方式購買家電一件，價為 1150元，購買當(dāng)天先付 150元，以后每月這一天都交付 50元，并加付欠款利息，月利率為 1%，若交付 150元后的每一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第 10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家用電器實(shí)際花費(fèi)多少錢？ 解：購買時付出 150元后，余欠款 1000元，按題意應(yīng)分 20次付清，由于每次都必須交 50元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的數(shù)額按月次構(gòu)成數(shù)列． 設(shè)每次交款數(shù)額依 次為 a1， a2， ? ， a20 則： a1＝ 50＋ 10001% ＝ 60元， a2＝ 50＋ (1000－ 50)1% ＝ ?? a10＝ 50＋ (1000－ 950)1% ＝ 即第 10個月應(yīng)付款 ． 由于 {an}是以 60為首項(xiàng)，以－ ， 所以有： S20＝ 60＋（ 60－ 19 ） 2 20 ＝ 1105(元 ) 即全部付清 后實(shí)際付款（ 1105＋ 150）＝ 1255（元） 例 某人大學(xué)畢業(yè)參加工作后，計(jì)劃參加養(yǎng)老保險．若每年年末等差額年金 p元，即第一年年末存入 p元，第二年年末存入 2p元， ? ，第 n年年末存入 np元，年利率為 k．問第 n＋ 1年年初他可一次性獲得養(yǎng)老金本利合計(jì)多少元？ 思路：分期存款，應(yīng)利用 “ 本利和＝本金 （ 1＋利率） ” 分段計(jì)算： 第 1年年末存入的 p元現(xiàn)金，到第 n＋ 1年年初，共 n－ 1年，逐年獲得本利和依次構(gòu)成公比為 1＋ k有等比數(shù)列，即 p（ 1＋ k） n－ 1； 同理，第 2年末存入 2p元， ? ，第 n年末存 入 np元的本利和，依次為 2p（ 1＋ k）n－ 2， ? ， np．問題即為數(shù)列求和． 解：設(shè)此人第 n＋ 1年初一次性獲得養(yǎng)老保險金為 Sn元，則 Sn＝ p（ 1＋ k） n－ 1＋ 2p（ 1＋ k） n－ 2＋ ? ＋（ n－ 1） p（ 1＋ k）＋np ① （ 1＋ k） Sn＝ p（ 1＋ k） n＋ 2p（ 1＋ k） n－ 1＋ ? ＋（ n－ 1） p（ 1＋ k） 2＋ np（ 1＋ k） ② ② － ① ，得： kSn＝ p（ 1＋ k） n＋ p（ 1＋ k） n－ 1＋ ? ＋ p（ 1＋ k）－
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