畢業(yè)論文行列式的求法匯總(編輯修改稿)
2025-07-20 14:08 本頁面
【文章內容簡介】 為：或 。現可反復用低階代替高階，有：同樣有因此當 時，由（1）（2）式可解得： 。證畢。點評：雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結構，然后得到一遞推關系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個遞推關系式是否可以簡化我們的計算，如果不行的話，就要適當地換遞 推關系式，如本題。 加邊法（升階法）[2][7]有時為了計算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進行計算，這種計算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計算。要根據需要和原行列式的特點選取所加的行和列。加法適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為1個元素的倍數的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 。當然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時才能應用呢？關鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例4 計算 階行列式：分析 我們先把主對角線的數都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為與相乘，第二行為與相乘，……，第行為與相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子，從而就可考慮此法。解：注意:加邊法最在的特點就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用行列式的性質把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達到了簡化計算的效果。 拆行（列）法[6]由行列式拆項性質知，將已知行列式拆成若干個行列式之積，計算其值，再得原行列式值，此法稱為拆行（列）法。由行列式的性質知道，若行列式的某行（列）的元素都是兩個數之和，則該行列式可拆成兩個行列式的和，這兩個行列式的某行（列）分別以這兩數之一為該行（列）的元素，而其他各行（列）的元素與原行列式的對應行（列）相同，利用行列式的這一性質，有時較容易求得行列式的值。例5 南開大學2004年研究生入學考試題第1大題，要求下列行列式的值，設階行列式：且滿足對任意數b，求階行列式 分析:該行列式的每個元素都是由兩個數的和組成，且其中有一個數是b，顯然用拆行（列）法。解： 。又令A=, 。 。 。， 所以 也為反對稱矩陣。又 為的元素， 。從而知： 。 數學歸納法[5]一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出猜想的證明。因此，數學歸納法一般是用來證明行列式等式。因為給定一個行列式，要猜想其值是比較難的，所以是先給定其值，然后再去證明。（數學歸納法的步驟大家都比較熟悉，這里就不再說了）。例6 證明： 證：當時，有結論顯然成立。現假定結論對小于等于時成立。即有。將按第1列展開，得 故當對時，等式也成立。得證。接下來介紹一些特殊的行列式計算方法: 析因法[9]如果行列式中有一些元素是變數（或某個參變數）的多項式，那么可以將行列式當作一個多項式，然后對行列式施行某些變換，求出的互素的一次因式，使得與這些因式的乘積只相差一個常數因子，根據多項式相等的定義，比較與的某一項的系數，求出值，便可求得= 。那在什么情況下才能用呢？要看行列式中的兩行（其中含變數），若等于某一數時，使得兩行相同，根據行列式的性質，可使得=0。那么便是一個一次因式，再找其他的互異數使得=0，即得到與階數相同的互素
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