【文章內(nèi)容簡介】 aaaD???????21222111000?nnnnaaaaaaD???????00022211211?(3) 上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為 0） nnaaa ?2211?(4) 下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為 0） nnaaa ?2211?思考題： 用定義計(jì)算行列式 解：用樹圖分析 ?1 1 3 3 1 2 3 ?1 ?2 ?2 ?1 ( 2134) 1t ?( 2143 ) 2t ?( 2413 ) 3t ?( 2431 ) 4t ?491223 ???????D故 1 1 3 0 2 3 0 0 2 1 0 1 1 2 1 0 ? ? ? ? ? D 思考題 已知 ，求 的系數(shù) . ? ?1211123111211xxxxxf??3x故 的系數(shù)為 － 1. 解 含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即 3x ? ?1211123111211xxxxxf??對應(yīng)于 ? ?124311 22 34 43( 1 )t a a a a??( 12 34 ) 11 22 33 44( 1 ) t a a a a?( 12 34 ) 311 22 33 44( 1 ) ,t a a a a x??? ?1243 31 1 2 2 3 4 4 3( 1 ) 2t a a a a x? ? ?3x三、 n 階行列式定義的進(jìn)一步討論 1 1 2 122 121 12 2, nn nni j i j i j pp pnp np paa aa a aaa a? ?因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的， 所以 n 個元素相乘的次序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與 都同時作一次對換，即 與 同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的 奇偶性不變 . 12 ni i i12 nj j j 12 nj j j12 ni i i于是 與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù) . 即 是偶數(shù) . 因?yàn)閷Q改變排列的奇偶性， 是奇數(shù)， 也是奇數(shù) . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . st?s?t所以 是偶數(shù)， ss?? tt??( ) ( )s s t t??? ? ?( ) ( )s t s t??? ? ?()st??? ()st?因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變 . 1 1 2 2 , nni j i j i ja a a設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 1 2 1 2 1 212( ) ( ) ( 1 2 ) ( )()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n nnt i i i t j j j t n t p p pt p p p??? ? ???經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此 . 所以，在一系列對換之后有 定理 2 n 階行列式也可定義為 121212()12( 1 )nnnt p p pp p p np p pD a a a???定理 3 n 階行列式也可定義為 1 2 1 21 1 2 21212( ) ( )( 1 ) nnnnnnt i i i t j j ji j i j i ji i ij j jD a a a??? ?例 1 試判斷 和 14 23 31 42 56 65a a a a a a 32 43 14 51 25 66a a a a a a?是否都是六階行列式中的項(xiàng) . 解 下標(biāo)的逆序數(shù)為 ? ?43 12 65 0 1 2 2 0 1 6t ? ? ? ? ? ? ?14 23 31 42 56 65a a a a a a所以 是六階行列式中的項(xiàng) . 14 23 31 42 56 65a a a a a a 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和 ( 341526 ) ( 234156 ) 5 3 8tt ? ? ? ?32 43 14 51 25 66a a a a a a?所以 不是六階行列式中的項(xiàng) . 32 43 14 51 25 66a a a a a a?例 2 用行列式的定義計(jì)算 0 0 0 1 00 0 2 0 01 0 0 0 00 0 0 0nDnn??? ? ? ?? ?1221!nnnDn ????解 ? ?? ? ? ?? ?tn n nnttnnD a a a annn1 , 2 , 1 1,121 1 1 2 1 1 !?????? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?t n n nnnnn 1 2 2 12 3 2 11 22??????? ? ? ? ? ? ?? ? ?小結(jié) ： 行列式的三種表示方法 nnnt p p pp p n pp p pD a a a121212()12( 1 )???121212()12( 1 )nnnt p p pp p p np p pD a a a???1 2 1 21 1 2 21212( ) ( )( 1 ) nnnnnnt i i i t j j ji j i j i ji i ij j jD a a a??? ?167。 第 1章 行列式 二階與三階行列式 全排列和對換 n階行列式的定義 行列式的性質(zhì) 行列式按行（列）展開 一、行列式的性質(zhì) 1 1 1 2122 1 2 212, nnn n nna a aaaaaaDa?行列式 稱為行列式 的 轉(zhuǎn)置行列式 . TD D若記 ，則 . d e t ( ) , d e t ( )Ti j i jD a D b?? ij jiba?記 性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 ,即 . TDD?212211121 212nnnnTn naaaaaaDaa a?121212()12( 1 ) n nnt p p pTp p n pp p pD b b b???性質(zhì) 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等 . 證明 根據(jù)行列式的定義，有 若記 ，則 d e t ( ) , d e t ( )Ti j i jD a D b??? ?, 1 , 2 , ,i j i jb a i j n??112122 1() 2( 1 ) nnnppt p p pp p ppna a a??? D?行列式中行與列具有同等的地位 ,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立 . 性質(zhì) 2 互換行列式的兩行（列） ,行列式變號 . 驗(yàn)證 于是 1 7 56 6 23 5 81 7 53 5 86 6 2196?? 196?1 7 5 1 7 56 6 2 3 5 83 5 8 6 6 2??推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零 . 證明 互換相同的兩行，有 ，所以 . DD?? 0D?備注：交換第 行（列）和第 行（列），記作 . ji ()i j i jr r c c??性質(zhì) 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù) ，等于用數(shù) 乘以此行列式 . 驗(yàn)證 k k1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3,a a aD a a aa a a?我們以 三 階行列式為例 . 記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有 11 12 131 21 22 2331 32 33kka a aD a a aa a ak?備注：第 行（列）乘以 ，記作 . ki ()iir k c k??11 12 131 21 22 2331 32 33kka a aD a a aa a ak?k k ka a a a a a a a aa k a a a a a a a akk1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )? ? ????a a a a a a a a aa a a a a a a aka1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 21 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2()? ? ????Dk?推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面． 備注：第 行（列）提出公因子 ，記作 . ki ()iir k c k??ka ka ka kaa a a aa a aaaa a a21 22 23 243111 12 132 33 311 12 14331414?驗(yàn)證 我們以 4階行列式為例 . 性質(zhì) 4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零． a a a aakaaaaaaa a aaa21 22 23