幾何與代數(shù)科學出版社第一章行列式和線性方程組的求解(編輯修改稿)
2025-06-17 07:51 本頁面
【文章內容簡介】 ?a3b2c1?a1b3c2?a2b1c3 二 . 三階行列式的特點 ? 每一項都是三個位于不同行和列的元素的乘積 . a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ? a11 a23 a32 ? a12 a21 a33 ? a13 a22 a31 . ? 將行標按 1,2,3排好，列標恰好對應于 1, 2, 3的 6種排列 . ? 各項系數(shù)與列標的排列的逆序數(shù)有關 . (?1)1 對換 2次 對換 1次 (?1)2 問題 :如何利用二三階行列式的 其他特點計算四階以上行列式 ? 對換的次數(shù) 稱為逆序數(shù) . (?1)0 第一章 行列式和線性方程組的求解 167。 二階、三階行列式 1 2 31 2 3j j ja a a?a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 排列 j1 j2 j3的逆序數(shù) 對所有不同的三級排列 j1 j2 j3求和 121212()12( 1 )jjjjjjaa??? ?a11 a12 a21 a22 1 2 3j j j?1 2 3()( 1 ) j j j? ?第一章 行列式和線性方程組的求解 167。 二階、三階行列式 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a11a23a32 ? a12a21a33 ? a13a22a31 1. 逆序數(shù) 逆序： 違反從小到大的正常順序 一個 排列的 逆序數(shù) : 所有數(shù)的逆序數(shù)的總和 . 奇 (偶 )排列： 逆序數(shù)為奇 (偶 )數(shù)的排列 . 逆序數(shù) ?k： 設 i1 i2? ik? in是 1?n的一個排列 , 則 ik在此排列中的逆序數(shù) ?k為 排在數(shù) ik之前 (后 ) 比 ik大 (小 )的數(shù)的個數(shù) . 三 . 排列的逆序數(shù)與奇偶性 ? ?121???? ?nk n kki i i i第一章 行列式和線性方程組的求解 167。 n階行列式 對換 (變成 12… n)的次數(shù)稱為逆序數(shù) . 例 1. 求下列排列的 逆序數(shù) (1) 32514 ? ?3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 5? ? ? ? ? ? ?? ? 222nn n??? ? ? ?2 1 2 3 1? ? ? ? ? ? ?nn(2) n(n?1)(n?2)… 321 (3) (2n)(2n?2)… 4213… (2n?3)(2n?1). ? ?12nn ??? ? ? ?1 2 1 0? ? ? ? ? ? ? ?nn2. 對換 對換 : 對調 排列中的任 兩個 元素 , 其余元素不動 . 相 鄰對換 : 將 相鄰 的兩個元素對換 . 逆序數(shù) ?k：排在數(shù) ik之前 (后 )比 ik大 (小 )的數(shù)的個數(shù) . 第一章 行列式和線性方程組的求解 167。 n階行列式 定理 . 每一個對換都改變排列的奇偶性 . 推論 . n?2時 , n個 元素的所有排列中 , 奇、偶 排列各占一半 , 即各有 n!/2個 . 注 : ① 任一相鄰對換都 改變 排列的 奇偶性 . ② 任一對換都可通過 奇數(shù)次 相鄰對換來實現(xiàn) . a1 ? al ab1? bm b c1? a1 ? al ab b1? bm c1? a1 ? al b b1? bm a c1? ? a1 ? al ab1? bm1bbm c1? ? ? a1 ? al bab1? bm c1? a1 ? al bb1a? bm c1? ? 對換 m次 對換 m+1次 共對換 2m+1次 a1 ? al ab b1? bm a1 ? al ba b1? bm 若 a＞ b, 則 ?a? =?a,?b? =?b?1, 若 a＜ b, 則 ?a? =?a+1,?b? =?b, ?? =? ?1. ?? =? +1. 第一章 行列式和線性方程組的求解 167。 n階行列式 167。 方陣的行列式 一 . 二元線性方程組與二階行列式 三 .
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