第9章矩陣特征值問題的數(shù)值方法(編輯修改稿)
2025-08-16 12:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??又由假設 , 因此 , 這樣 ,便有 從而 ,當 22( ) ( ) ( ) ( )1, ,1m a x ( 1 )nk k k kp q i j p q p qi j n i ji j i ja a a n n a? ? ? ??? ? ??且 且且22 ()( 1 ) kk p qFE n n a??2 2 211 2222( 1 ) ( 1 ) kkkF F FE E En n n n? ? ? ? ???1,0k FkE ?? ? ? 實用的 Jacobi方法 ? 循環(huán) Jacobi方法必須一次又一次掃描，才能使｛ Ak｝收斂于對角陣 ，計算量很大 . 在實際計算中，往往用一些特殊方法來控制掃描次數(shù)，減少計算量 . 下面介 紹一種應用最為廣泛的特殊循環(huán) Jacobi方法 ——閾 Jacobi方法 . 閾 Jacobi方法首先確定一個閾值 δ，在對非對角元零化的一次掃描中，只對其中絕對值 超過閾值的非對角元進行零化 . 當所有非對角元素的絕對值都不超過閾值后，將閾值減少， 再重復下一輪掃描，直至閾值充分小為止 . 減少閾值的方法通常是先固定一個正整數(shù) M≥n，掃描一次后，讓 . 而閾值的下界是根據(jù)實際問題的精度要求選定的 . M? ?? 用 Jacobi方法計算特征向量 ? 假定經(jīng)過 k次迭代得到 Ak+1=RTk…R T1AR1…R k， (15) 這時 Ak+1是滿足精度要求的一個近似的對角陣 . 如果記 Qk=R1R2…R k=Qk1Rk， (16) 那么， Qk是一個正交矩陣，且 (15)式又可表示為 Ak+1= Ak+1的非對角元素充分小， Qk的第 j列 qj可以看成是近似特征值a(k+1)jj相應的特征向量了 . 在實際計算中，可以按 (16)式在迭代過程中形成 Qk，把 Qk看成是 Qk1右乘一個平面旋轉矩陣得到 . 不妨記 Q0=I， Qk的元素按下式計算： ( ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 ) ( 1 )( ) ( 1 )c o s sin ,sin c o s , , ,1 , 2 ,k k kip ip k ip kk k kiq ip k iq kkkij ijq q qq q qq q j p qin???????????? ? ???? 對分法 理論上，一個實對稱矩陣正交相似于一個以其特征值為對角元的 對角陣 . 但是，經(jīng)典的結果告訴我們，一個大于 4次的多項式方程不可能用有限次四則運算 求根 . 因此，我們不可能期望只用有限次相似變換將一個實對稱矩陣約化為一個對角陣 .下面先介紹將一個實對稱矩陣相似約化為實對稱三對角矩陣的方法，再討論求其特征值的對 分法 . 相似約化為實對稱三對角矩陣 將一個實對稱矩陣正交相似約化為一個實對稱三對角矩陣的算法，可歸納如下： 記 A(1)=A,對 k=1,2,…,n 2 ① 按 (4)式、 (5)式和 (8)式計算 ； ②按 (9)～ (12)式，計算 A(k+1). ,k k ku ??? 和()1,()2,()( 4)kk k kkkkkknkaaua??????????? ?????????( ) ( ) 21,1( ) ( ) ( 5 )nkkk k k i kiks ig n a a? ????? ?() 1,( ) ( 8 )kk k k k ka? ? ? ???1 ( )1( 1 ) ( ), ( 9), ( 10 )1, ( 11 )2( ) , ( 12 )kk k kTk k k kk k k kk k T Tk k k kg A uugy g uA A u y y u???????????? ? ? Sturm序列的性質 ? 設實對稱三對角矩陣為 其中 βi≠0 (i=1,2,… ， n1) 其特征矩陣為 TλI. 記 TλI的第 i階主子式為 111 2 21nnaTaa??????????????????????111211()iiiiaapa??????????????? 這是關于 λ的 i次多項式，當 i=n時， pn(λ)=｜TλI｜是矩陣 T的特征多項式 . 令 p0(λ)≡1，則有 p1(λ)=α1λ， pi(λ)=(αiλ)pi1(λ)β2i1pi2(λ)，i=2,3， … ， n.(15) ? 多項式序列｛ pi(λ)｝ (i=0,1,… ， n)稱為Sturm序列 111211()iiiiaapa??????????????定理 ｛ pi(λ)｝ (i=1,2,… ， n)的根都是 實根 . 證 由 (14)式， pi(λ)是 i階實對稱矩陣的特征多項式，因此，｛ pi(λ)｝ (i=1,2,… ， n)的根全是實根 .
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