可換矩陣的公共特征向量研究(編輯修改稿)
2024-09-25 20:42 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，2 1 21 2 1 0 20 1 1 1 1 22 2 0 0 2B ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， 定理 1 中的 2211L ???????， 22 011L ?? ???? ? ? ?，即 ( 3) 0????， 對(duì) 0?? ， 122 2 01 1 0cc?? ??? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???，得 21cc?? ，于是 公共特征向量為 1 1 2()c? ? ???，即 111ccc???????????， 1c 為任意不為零的常數(shù)。 對(duì) 3?? ， 121 2 01 2 0cc? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???，得 122cc? ，于是 公共特征向量為 2 1 2(2 )c? ? ???，即 22222ccc??????????， 2c 為任意不為零的常數(shù)。 于是所有 公共特征向量的形式為： 02kk???????????， kkk???????????， 22kkk?????????? k 為任意不為零的常數(shù)。 2 一個(gè)反例 命題 1中對(duì)復(fù)數(shù)域的要求是必需的，而在文獻(xiàn) [2]中 P261卻有如下一道習(xí)題： 習(xí)題 [2] 設(shè)矩陣 A 與 B 可交換，試證：如果 A 有特征 向量，則 ,AB一定有公共特征向量。 6 在文獻(xiàn) [3]中對(duì)該習(xí)題作出了如下解答： 解 [3] 設(shè) ,AB是兩個(gè)可交換的矩陣，系數(shù)在數(shù)域 P 中，并設(shè)其階數(shù)為 n . ,AB可看成 n 維線(xiàn)性空間 nP 的線(xiàn)性變換 ,AB在基 12(1 , 0 , , 0 ) , (0 , 1 , , 0 ) , ,???? (0,0, ,1)n? ? 下的矩陣，從 ,AB可交換可推出 ,AB可交換 .如果 A 有特征向量，則 A 有特征值 0? .在 A 對(duì)于 0? 的特征子空間中， ,AB有公共特征向量 ? ， ? 也是矩陣 ,AB的公共特征向量。 上述結(jié)論不真。事實(shí)上，在實(shí)數(shù)域 R 上，取 AE? ，令 B 是在實(shí)數(shù)域 R 沒(méi)有特征值的任一方陣（這種矩陣是存在的，參見(jiàn)下例），則 AE? 與 B 可交換， AE?有特征向量，但 B 沒(méi)有特征向量。 例 1 在實(shí)數(shù)域 R 上， 2AE? （單位陣）， 0110B ????????，則 AB BA? ， A 有特征值 1，從而有特征向量，但 B 在實(shí)數(shù)域 R 上沒(méi)有特征值，自然沒(méi)有特征向量 . 3 進(jìn)一步的討論 引 理 1 nnAC?? ， A 相似于對(duì)角陣 ? A 有 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 設(shè) 12, ...... n? ? ? 為 A 的 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 . 令 ? ?12, ...... nP ? ? ?? 則可逆 ,且 11 00 nP AP??????????. 引理 2（哈密爾頓 凱萊定理） 設(shè) A 是數(shù)域 P 上一個(gè) nn? 矩陣，? ?fA??? ?? 是 A 的特征多項(xiàng)式，則 ? ? ? ? ? ?11 1 2 2 1 nnn nnf A A a a a A A?? ? ? ? ? ? ? ? ? 0? . 引理 3 設(shè) ? ? ? ?fR??? ，若 ? ?B f A? ，則 A 的任一特征向量一定是 B 的特征向量 . 證明 ：令 ? ? 10nnf a a a? ? ?? ? ? ?，又 ? ?B f A? 7 ∴ ? ? 11 1 0nnnnB f A a A a A a A a??? ? ? ? ? ? ?. 由 A? ??? 有 nnA? ??? ，則 ? ? 11 1 0nnnnf A a A a A a A a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? = 11 1 0nnnna a a a? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? =? ? ? ?11 1 0nnnna a a a f? ? ? ? ? ????
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