可換矩陣的公共特征向量研究-全文預覽
【正文】 結(jié)論 2 若 A B AB?? ， ,AB至少有一個可以對角化， 則 ⑴ B 一定能表成 A 的多項式 . ⑵的 A 每一個特征向量都是 B 的特征向量 . 10 ⑶ ,AB至少有一個公共特征向量 . 證明 ：⑴由 A B AB?? 有 ? ?B A A?? ? . ∵ 1 不是 A 的特征值 . ∴ A?? 可逆 . 下證 ? ?1A ??? 可表成關(guān)于的 A 多項式 . ∵ 1 不是 A 的特征值，設(shè) ? ?fA??? ?? 為特征多項式 . ∴ ??10f ? ， ? ?? ?1, 1f????. 于是有 ? ? ? ? ? ? ? ?11u f v? ? ? ?? ? ? 又由引理 [3]有 ? ? 0fA? ， 即 ? ? ? ? ? ? ? ?1A u A f A v A? ? ? ?. ∴ ? ? ? ?A u A?? ??? ? ? ? ?1A u A??? ? . ∴ ? ? ? ?1A A A u A?? ? ? ? ?.證畢 . ⑵易得 . ⑶由 A B AB?? ? AB BA? ，即有此結(jié)論 . 結(jié)論 3 若 A B AB?? ， A 可對角化，則 ,AB有 n 個公共特征向量，且它們線性無關(guān) . 證明 由 A B AB?? ， ∴ AB BA? .又 A 可以對角化， ∴ 存 A 在 n 個線性無關(guān)的特征向量 .從而它們也是 B 的 n 個特征向量 . 設(shè) 12,n? ? ? 為公共特征向量，且線性無關(guān) .記 ? ?12, nP ? ? ?? ，則 11 00 nP A P?????????? ， 11 00 nP B P??????????. [參考文獻 ] [1]屠伯塤 .線性代數(shù)方法導引 [M].上海：復旦大學出版社， 1986. 11 [2]王萼芳 .高等代數(shù)教程（下冊 ） [M].北京 : 清華大學出版社， 1997. [3]王萼芳 .高等代數(shù)輔導與習題解答 [M].北京 :清華大學出版社， 1997. [4]Laffey T J .Simultangularization of matriceslow rank cases and the nonderogetory case[J].Lin and Multilin .Alg ,1978 ,6(4):289305. [5]Choi M P ,Lourie C ,Radjavi mutators and invariant subspaces[J].Lin and ,1981,10(4):329340. [6]屠伯塤，徐誠浩 ,王芬 .高等代數(shù) [M].上海 :上?？茖W出版社 ,1987. [7]胡付高 .矩陣的弱相似性及其應(yīng)用 [J].信陽師范學院報 (自然科學版 ),2020,16(1):46. [8]王萼芳 ,石生明 .高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 ,1987. [9]朱靖紅，朱永生 .矩陣對角化的相關(guān)問題 [J].遼寧師范大學學報， 2020， 28（ 3）： 383384. [10]陳紹剛 .矩陣對角化的弱可逆矩陣刻畫 [J].數(shù)學的實踐與認識， 2020， 35（ 9） 164166. [11]姜曉艷 .化方陣為相似 對角陣 的一 個判別條件 [J].遼寧師專學報， 2020， 6（ 2） 2,29. 謝 辭 衷心感謝胡付高老師對本文的悉心指導 ! 。 上述結(jié)論不真。 對 3?? ， 121 2 01 2 0cc? ??? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ???，得 122cc? ，于是 公共特征向量為 2 1 2(2 )c? ? ???，即 22222ccc??????????， 2c 為任意不為零的常數(shù)。 證明 由推論 1 知 A 與 B 有 n 個線性無關(guān)的公共特征向量 12, , , n? ? ? ，作矩陣12( , , , )nP ? ? ?? ，則 1PAP? 與 1PBP? 都是對角矩陣。 diagonal matrix. 0 引言 2 在文獻 [1]中證明了 命題 1 若 ,AB都是復數(shù)域上的 n 階方陣，且 AB BA? ，則 A 與 B 至少存在一個公共的特征向量 . 對于命題 1的證明，通常的方法是把矩陣轉(zhuǎn)化為線性變換問題，考慮其一個特征子空間中存在另一個線性變換的一個特征向量
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