【正文】 XAX?????例： 已知矩陣范數(shù) 求與之相容的一個向量范數(shù)。 （ 3） 我們稱此范數(shù)為矩陣 的 行和范數(shù)。即 常用的 矩陣 P范數(shù) 為 ， 和 。 iA 最后證明 與 是相容的。 證明 ：首先我們驗(yàn)證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。 證明： 首先注意到這樣一個基本事實(shí)，即 由上一個例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。 證明 ：此定義的非負(fù)性，齊次性是顯然的?，F(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。非負(fù)性，齊次性與三角不等式容易證明。 矩陣范數(shù) V12, , , n? ? ??? ?121, , , ,nni i nix X x x x F???? ? ??nFV X? ?V? V定義： 對于任何一個矩陣 ，用 表示按照某一確定法則與矩陣 相對應(yīng)的一個實(shí)數(shù)，且滿足 AA（ 1）非負(fù)性：當(dāng) 只有且僅有當(dāng) （ 2） 齊次性： 為任意復(fù)數(shù)。 （ 3） －范數(shù) 定理： 證明： 令 ，則 12 12221( ) ( )nHiia? ? ??????1m a x iina? ????lim pp??????1m a x iinxa???, 1 , 2 , ,ii ay i nx??于是有 另一方面 11()np pipixy??? ?111111 ( )npiinp ppiiynyn????????11l i m ( ) 1np pipiy?????故 由此可知 定義： 設(shè) 是 維線性空間 上定義的兩種向量范數(shù)，如果存在兩個與 無關(guān)的正數(shù) 使得 1l i m m ax ipp inxa????? ??? ? ?n V,ab???12,dd12 ,b a bd d V? ? ? ?? ? ? ?定理： 有限維線性空間 上的任意兩個向量范數(shù)都是等價的。2( 1 )( 2 )( 3 )nnn? ? ?? ? ?? ? ???????????? ? ? ?1 2 1 2, , , , , , ,TT nnna a a b b b C??? ? ?則 其中 且 。 第四章 向量與矩陣的范數(shù) 定義： 設(shè) 是實(shí)數(shù)域 （或復(fù)數(shù)域 ）上的 維線性空間，對于 中的任意一個向量 按照某一確定法則對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)，這個實(shí)數(shù)稱為 的 范數(shù) ，記為 ，并且要求范數(shù)滿足下列運(yùn)算條件： （ 1）非負(fù)性：當(dāng) 只有且僅有當(dāng) （ 2） 齊次性： 為任意數(shù)。2 1 239。 常用的 范數(shù)： （ 1） 1－范數(shù) p?? ?12, , , Tna a a? ?1p ?11()np pipia??? ??p?11niia??? ?1p ?（ 2） 2－范數(shù) 也稱為歐氏范數(shù)。 例 ： 設(shè) 數(shù)域 上的 維線性空間， VmCb, ( )mnA C ra n k A n???, nab AC? ? ???anCV F n 為其一組基底，那么對于 中的任意一個向量 可唯一地表示成 又設(shè) 是 上的向量范數(shù)，則由 所定義的 是 上的向量范數(shù)。 ,ABAB A B?AAmnAC ??11mnijijAa??? ??AA證明： 只需要驗(yàn)證此定義滿足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。 證明：非負(fù)性，齊次性和三角不等式容易證得。我們稱此范數(shù)為矩陣 的 Frobenious范數(shù) 。 設(shè) ，則 mnAC ??12211()mnijFijAa??? ??A AA,m l l nA C B C????22 21 1 1 1 1 1221 1 1 1221 1 1 122()[ ( ) ( ) ]( ) ( )m n l m n lik k j ik k jFi j k i j km n l lik k ji j k km l n lik k ji k j kFFAB a b a bababAB? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是有 例 4 ： 對于任意 ，定義 證明如此定義的 是矩陣 的范數(shù)。 例 1 ： 矩陣的 Frobenius范數(shù)與向量的 2范數(shù)是相容的 . 證明 : 因?yàn)? X ? A?A XA X A X? ? ??A ? X ?12211()mnijFijAa??? ??12 12221( ) ( )nHiiX x X X????根據(jù) Hoider不等式可以得到 22 221 1 1 1221 1 1221 1 1222()[ ( ) ( ) ]( ) ( )m n m nij j ij ji j i jm n nij ji j jm n nij ji j jFAX a x a xaxaxAX? ? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ?? ? ?于是有 例 2 ： 設(shè) 是向量的范數(shù)，則 滿足矩陣范數(shù)的定義，且 是與向量范 相容的矩陣范數(shù)。 22 FAX A X?X ?0m axi XAXAX????iAX ?設(shè) ，那么 0B ?000000()m a x m a x ( )()m a x m a xm a x m a xiXXBX XXXiiAB X A BX BXABX BX XA BX BXBX XAX BXXXAB? ? ?? ? ????????????????????因此 的確滿足矩陣范數(shù)的定義。由 iA X ?iiAXAXAX A X??????iA X ?X ?向量 P范數(shù) 所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣 P范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣 的 譜范數(shù) 。 練習(xí) ： 設(shè) 或 011 0 000iAi????????